Bài tập 7 trang 45 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 7 trang 45 SGK Hình học 12 NC
a) Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h.
b) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh cùng bằng a. Gọi A′, B′, C′, D′ lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC, SD. Chứng minh rằng các điểm A, B, C, D, A′, B′, C′, D′ cùng thuộc một mặt cầu và tính thể tích khối cầu đó.
a)
.jpg)
Gọi H là tâm của tam giác đều ABC. SH là đường cao của hình chóp đều S.ABC nên SH là trục của tam giác ABC.
Trong mặt phẳng (SAH) gọi O là giao điểm của đường trung trực SA với SH thì O là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và bán kính của mặt cầu là R = SO
Gọi I là trung điểm của SA thì tứ giác AHOI nội tiếp nên:
\(SO.SH = SI.SA \Rightarrow SO = \frac{{S{A^2}}}{{2SH}} = \frac{{S{A^2}}}{{2h}}\)
Mà
\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
S{A^2} = S{H^2} + A{H^2}\\
= {h^2} + {\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)^2} = \frac{{{a^2} + 3{h^2}}}{3}
\end{array}\\
{ \Rightarrow R = SO = \frac{{{a^2} + 3{h^2}}}{{6h}}}
\end{array}\)
Vậy thể tích cần tìm:
\(V = \frac{{\pi {{({a^2} + 3{h^2})}^3}}}{{162{h^3}}}\)
b)
.jpg)
Gọi SH là đường cao của hình chóp đều S.ABCD thì H là tâm của hình vuông ABCD và SH đi qua tâm H′ của hình vuông A′B′C′D′
Mọi điểm nằm trên SH đều cách đều bốn điểm A′, B′, C′, D′. Trên đường thẳng SH, ta xác định điểm O sao cho OA = OA′ thì O cách đều tám điểm A, B, C, D, A′, B′, C′, D′ tức là tám điểm đó nằm trên mặt cầu tâm O, bán kính R = OA. Điểm O là giao điểm của đường thẳng SH và mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AA′.
Ta có: \(2{a^2} = A{C^2} = S{A^2} + S{C^2}\) nên tam giác vuông cân tại S suy ra \(\widehat {ASO} = {45^0}\) do đó tam giác SIO vuông cân tại I và \(IS = IO = \frac{{3a}}{4}\)
\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
\Rightarrow R = OA = \sqrt {O{I^2} + I{A^2}} \\
= \sqrt {\frac{{9{a^2}}}{{16}} + \frac{{{a^2}}}{{16}}} = \frac{{a\sqrt {10} }}{4}
\end{array}\\
{ \Rightarrow V = \frac{4}{3}\pi {{\left( {\frac{{a\sqrt {10} }}{4}} \right)}^3} = \frac{{5\pi {a^3}\sqrt {10} }}{{24}}}
\end{array}\)
-- Mod Toán 12
Bạn có biết?
Toán học là ngành nghiên cứu trừu tượng về những chủ đề như: lượng (các con số), cấu trúc, không gian, và sự thay đổi.Các nhà toán học và triết học có nhiều quan điểm khác nhau về định nghĩa và phạm vi của toán học
Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thưTâm sự Lớp 12
Lớp 12 - Năm cuối ở cấp tiểu học, năm học quan trọng nhất trong đời học sinh trải qua bao năm học tập, bao nhiêu kì vọng của người thân xung quanh ta. Những nỗi lo về thi đại học và định hướng tương lai thật là nặng. Hãy tin vào bản thân là mình sẽ làm được rồi tương lai mới chờ đợi các em!
Nguồn : ADMIN :))Copyright © 2021 HOCTAPSGK