Bài tập 2.2 trang 47 SBT Hình học 12
Bài tập 2.2 trang 47 SBT Hình học 12
Một hình nón tròn xoay có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh bằng a.
a) Tính diện tích toàn phần và thể tích hình nón đó.
b) Một mặt phẳng đi qua đỉnh tạo với mặt phẳng đáy một góc 600. Tính diện tích thiết diện được tạo nên.
.png)
a) Thiết diện qua trục của hình nón là tam giác vuông cân cạnh a nên hình nón có đường sinh l = a, có đường kính đáy \(a\sqrt 2 \) nên bán kính đáy \(r = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\), và có chiều cao \(h = r = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
Gọi Sxq là diện tích xung quanh của hình nón, ta có: \({S_{xq}} = \pi rl = \pi \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.a = \frac{{\pi {a^2}\sqrt 2 }}{2}\)
Gọi S là diện tích đáy của hình nón, ta có \({S_d} = \pi {r^2} = \frac{{\pi {a^2}}}{2}\)
Vậy diện tích toàn phần của hình nón đã cho là:
\({S_{tp}} = {S_{xq}} + {S_d} = \frac{1}{2}\pi {a^2}\sqrt 2 + \frac{1}{2}\pi {a^2} = \frac{1}{2}\pi {a^2}\left( {\sqrt 2 + 1} \right)\)
Hình nón có thể tích là: \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2} = \frac{1}{3}\pi {\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)^2}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2} = \frac{1}{{12}}\pi {a^3}\sqrt 2 \)
b) Xét mặt phẳng (DAM) đi qua đỉnh D tạo với mặt phẳng đáy một góc 600, cắt đường tròn đáy tại hai điểm A và M.
Từ tâm O của đường tròn đáy ta vẽ \(OH \bot AM\), do vậy H là trung điểm của đoạn AM. Ta có \(AM \bot (DOH)\) vì \(AM \bot OH\) và \(AM \bot DO\).
Vậy \(\widehat {DHO} = {60^0}\) và \(\sin {60^0} = \frac{{DO}}{{DH}}\) hay \(DH = \frac{{DO}}{{\sin {{60}^0}}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}:\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}\)
Gọi \({S_{{\rm{\Delta }}DAM}}\) là diện tích thiết diện cần tìm, ta có: \({S_{{\rm{\Delta }}DAM}} = \frac{1}{2}AM.DH = AH.DH\)
Mà \(A{H^2} = D{A^2} - D{H^2} = {a^2} - \frac{{2{a^2}}}{3} = \frac{{{a^2}}}{3}\)
Vậy \({S_{{\rm{\Delta }}DAM}} = AH.DH = \frac{a}{{\sqrt 3 }}.\frac{{a\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }} = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{3}\)
-- Mod Toán 12
Bạn có biết?
Toán học là ngành nghiên cứu trừu tượng về những chủ đề như: lượng (các con số), cấu trúc, không gian, và sự thay đổi.Các nhà toán học và triết học có nhiều quan điểm khác nhau về định nghĩa và phạm vi của toán học
Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thưTâm sự Lớp 12
Lớp 12 - Năm cuối ở cấp tiểu học, năm học quan trọng nhất trong đời học sinh trải qua bao năm học tập, bao nhiêu kì vọng của người thân xung quanh ta. Những nỗi lo về thi đại học và định hướng tương lai thật là nặng. Hãy tin vào bản thân là mình sẽ làm được rồi tương lai mới chờ đợi các em!
Nguồn : ADMIN :))Copyright © 2021 HOCTAPSGK