Bài tập 2.15 trang 60 SBT Hình học 12
Bài tập 2.15 trang 60 SBT Hình học 12
Cho hai đường thẳng chéo nhau Δ và Δ′ có AA' là đoạn vuông góc chung, trong đó A ∈ Δ và A′ ∈ Δ′. Gọi \((\alpha )\) là mặt phẳng chứa AA’ và vuông góc với Δ′ và cho biết AA’ = a. Một đường thẳng thay đổi luôn luôn song song với mặt phẳng \((\alpha )\) lần lượt cắt Δ và Δ′ tại M và M’. Hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng \((\alpha )\) là M1.
a) Xác định tâm O và bán kính r của mặt cầu đi qua 5 điểm A, A’ , M , M’, M1. Tính diện tích của mặt cầu tâm O nói trên theo a, x = A’M’ và góc \(\varphi = ({\rm{\Delta }},{\rm{\Delta '}})\)
b) Chứng minh rằng khi x thay đổi mặt cầu tâm O luôn luôn chứa một đường tròn cố định.
.png)
a) Theo giả thiết ta có: \(\widehat {A'M'M} = \widehat {A'AM} = \widehat {A'{M_1}M} = {90^0}\)
Do đó 5 điểm A, A’, M, M’, M1 cùng thuộc mặt cầu (S) tâm O, với O là trung điểm của A’M và có bán kính \(r = \frac{{A'M}}{2}\)
Mặt khác ta có A’M2 = A’A2 + AM2, trong đó \(\cos \varphi = \frac{{M{M_1}}}{{AM}}\) nên \(AM = \frac{{M{M_1}}}{{\cos \varphi }} = \frac{x}{{\cos \varphi }}\)
Do đó \(A'{M^2} = {a^2} + \frac{{{x^2}}}{{{{\cos }^2}\varphi }}\)
\( \Rightarrow A'M = \sqrt {\frac{{{a^2}{{\cos }^2}\varphi + {x^2}}}{{{{\cos }^2}\varphi }}} = \frac{1}{{\cos \varphi }}\sqrt {{a^2}{{\cos }^2}\varphi + {x^2}} \)
Mặt cầu tâm O có bán kính \(r = \frac{{A'M}}{2} = \frac{1}{{2\cos \varphi }}\sqrt {{a^2}{{\cos }^2}\varphi + {x^2}} \)
Diện tích của mặt cầu tâm O là: \(S = 4\pi {r^2} = \pi {(2r)^2} = \pi {(A'M)^2} = \pi ({a^2} + \frac{{{x^2}}}{{{{\cos }^2}\varphi }})\)
b) Gọi I là trung điểm của đoạn AA’. Ta có IO // Δ nên tâm O di động trên đường thẳng d cố định đi qua I và song song với Δ.
Mặt cầu tâm O đi qua hai điểm cố định A, A’, có tâm di động trên đường trung trực d cố định của đoạn AA’.
Vậy mặt cầu tâm O luôn luôn chứa đường tròn cố định tâm I có đường kính AA’ nằm trong mặt phẳng AA’ và vuông góc với d.
-- Mod Toán 12
Bạn có biết?
Toán học là ngành nghiên cứu trừu tượng về những chủ đề như: lượng (các con số), cấu trúc, không gian, và sự thay đổi.Các nhà toán học và triết học có nhiều quan điểm khác nhau về định nghĩa và phạm vi của toán học
Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thưTâm sự Lớp 12
Lớp 12 - Năm cuối ở cấp tiểu học, năm học quan trọng nhất trong đời học sinh trải qua bao năm học tập, bao nhiêu kì vọng của người thân xung quanh ta. Những nỗi lo về thi đại học và định hướng tương lai thật là nặng. Hãy tin vào bản thân là mình sẽ làm được rồi tương lai mới chờ đợi các em!
Nguồn : ADMIN :))Copyright © 2021 HOCTAPSGK