Bài tập 2.28 trang 62 SBT Hình học 12
Bài tập 2.28 trang 62 SBT Hình học 12
Cho hai đường thẳng Δ và Δ′ chéo nhau nhận AA’ làm đoạn vuông góc chung, trong đó A thuộc Δ và A’ thuộc Δ′. Gọi (P) là mặt phẳng qua A vuông góc với Δ′ và d là hình chiếu vuông góc của Δ trên mặt phẳng (P). Đặt AA’ = a, góc nhọn giữa Δ và d là \(\alpha \). Mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) cắt Δ và Δ′ lần lượt tại M và M’. Gọi M1 là hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng (P).
a) Chứng minh 5 điểm A, A’ , M, M’ , M1 cùng nằm trên mặt cầu (S). xác định tâm O của (S). Tính bán kính của (S) theo a, \(\alpha \) và khoảng cách x giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).
b) Khi x thay đổi, tâm O của mặt cầu (S) di động trên đường nào? Chứng minh rằng khi (Q) thay đổi mặt cầu (S) luôn luôn đi qua một đường tròn cố định.
.png)
a) Vì mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với Δ′ nên AA’ thuộc (P). Vì M thuộc Δ mà d là hình chiếu vuông góc của Δ trên (P) nên M1 thuộc d.
Vì \(MA \bot A{A^\prime } = > {M_1}A \bot AA'\)
Mặt khác \({M_1}A \bot M'A'\) nên ta suy ra \({M_1}A \bot (A{A^\prime }M')\). Do đó \({M_1}A \bot M'A\) và điểm A thuộc mặt cầu đường kính M’M1.
Ta có \(M'A' \bot (P)\) nên \(M'A' \bot A'{M_1}\), ta suy ra điểm A’ cũng thuộc mặt cầu đường kính M’M1
Ta có (Q) // (P) nên ta suy ra \(M{M_1} \bot (Q)\) mà MM’ thuộc (Q), do đó \({M_1}M \bot MM'\)
Như vậy 5 điểm A, A’ , M, M’, M1 cùng thuộc mặt cầu (S) có đường kính M’M1. Tâm O của mặt cầu (S) là trung điểm của đoạn M’M1.
Ta có \(M'{M_1}^2 = M'{A^{\prime 2}} + A'{M_1}^2 = M'{A^{\prime 2}} + A'{A^2} + A{M_1}^2 = {x^2} + {a^2} + {x^2}{\cot ^2}\alpha \) vì MM1 = x và \(\cot \alpha = \frac{{A{M_1}}}{{{M_1}M}} = \frac{{A{M_1}}}{x}\)
Bán kính r của mặt cầu (S) bằng \(\frac{{M'{M_1}}}{2}\) nên \(r = \frac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {x^2}(1 + {{\cot }^2}\alpha )} \)
b) Hình tứ giác A’M’MM1 là hình chữ nhật nên tâm O cũng là trung điểm của A’M.
Do đó khi x thay đổi thì mặt phẳng (Q) thay đổi và điểm O luôn luôn thuộc đường thẳng d’ đi qua trung điểm I của đoạn AA’ và song song với đường thẳng Δ.
Vì mặt cầu tâm O luôn luôn đi qua hai điểm cố định A, A’ nên nó có tâm O di động trên đường thẳng d’.
Do đó mặt cầu tâm O luôn luôn chứa đường tròn tâm I cố định có đường kính AA’ cố định và nằm trong mặt phẳng cố định vuông góc với đường thẳng d’.
-- Mod Toán 12
Bạn có biết?
Toán học là ngành nghiên cứu trừu tượng về những chủ đề như: lượng (các con số), cấu trúc, không gian, và sự thay đổi.Các nhà toán học và triết học có nhiều quan điểm khác nhau về định nghĩa và phạm vi của toán học
Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thưTâm sự Lớp 12
Lớp 12 - Năm cuối ở cấp tiểu học, năm học quan trọng nhất trong đời học sinh trải qua bao năm học tập, bao nhiêu kì vọng của người thân xung quanh ta. Những nỗi lo về thi đại học và định hướng tương lai thật là nặng. Hãy tin vào bản thân là mình sẽ làm được rồi tương lai mới chờ đợi các em!
Nguồn : ADMIN :))Copyright © 2021 HOCTAPSGK