Bài tập 7 trang 44 SGK Giải tích 12
Bài tập 7 trang 44 SGK Giải tích 12
Cho hàm số \(y=\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{2}x^2+m\).
a) Với giá trị nào của tham số m, đồ thị của hàm số đi qua điểm (-1;1)?
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng \(\frac{7}{4}\).
Nhận xét và phương pháp giải:
- Câu a, yêu cầu tìm tham số m để đồ thị hàm số đi qua một điểm cho trước, rất đơn giản ta chỉ cần thay tọa điểm đó vào hàm số tương ứng y là tung độ, x là hoành độ, khi đó ta chỉ cần giải phương trình tìm tham số m.
- Câu b, tham giá trị của m vào hàm số ta sẽ được một hàm số cụ thể sau đó thực hiện các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số này.
- Câu c, phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại tiếp điểm M(x0,y0) thuộc đồ thị hàm số đã học ở chương trình lớp 11 có dạng \(y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)\)
Như vậy trong câu c, ta cần phải xác định được tọa độ tiếp điểm. Mặc khác theo đề bài ta có tung độ tiếp điểm bằng \(\frac{7}{4}\), từ đó ta thay vào hàm số sẽ được tìm hoành độ.
Lời giải:
Lời giải chi tiết câu a, b, c bài 7 như sau:
Câu a:
Điểm (-1;1) thuộc đồ thị của hàm số nên ta có:
\(1 = \frac{1}{4}{\left( { - 1} \right)^4} + \frac{1}{2}{\left( { - 1} \right)^2} + m \Leftrightarrow m = \frac{1}{4}\).
Câu b:
Với m = 1 ta có hàm số:
\(y=\frac{1}{4}x^{4}+\frac{1}{2}x^{2}+1\)
Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\)
Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty\)
Sự biến thiên:
\(y = {x^3} + x = x\left( {{x^2} + 1} \right);y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\)
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right).\)
Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 và giá trị cực tiểu yCT = y(0) = 1.
Đồ thị:
Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm (0;1).
Với x = 1 ta có \(y=\frac{7}{4}.\)
Với x = -1 ta có \(y=\frac{7}{4}.\)
Đồ thị hàm số:
Câu c:
Với \(y=\frac{7}{4}\) ta có:
\(\begin{array}{l}
\frac{1}{4}{x^4} + \frac{1}{2}{x^2} + 1 = \frac{7}{4} \Leftrightarrow {x^4} + 2{x^2} - 3 = 0\\
\Leftrightarrow {x^2} = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1
\end{array}\)
Vậy hai điểm thuộc (C) có tung độ \(y=\frac{7}{4}\) là \(A\left ( 1;\frac{7}{4} \right )\)và \(B\left ( -1;\frac{7}{4} \right )\).
Ta có: y' = x3 + x suy ra: y'(-1) = - 2, y'(1) = 2.
Phương trình tiếp tuyến với (C) tại A là: \(y - \frac{7}{4} = y'(1)(x - 1) \Leftrightarrow y = 2x - \frac{1}{4}.\)
Phương trình tiếp tuyến với (C) tại B là: \(y - \frac{7}{4} = y'(-1)(x + 1) \Leftrightarrow y = -2x - \frac{1}{4}.\)
-- Mod Toán 12
Bạn có biết?
Toán học là ngành nghiên cứu trừu tượng về những chủ đề như: lượng (các con số), cấu trúc, không gian, và sự thay đổi.Các nhà toán học và triết học có nhiều quan điểm khác nhau về định nghĩa và phạm vi của toán học
Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thưTâm sự Lớp 12
Lớp 12 - Năm cuối ở cấp tiểu học, năm học quan trọng nhất trong đời học sinh trải qua bao năm học tập, bao nhiêu kì vọng của người thân xung quanh ta. Những nỗi lo về thi đại học và định hướng tương lai thật là nặng. Hãy tin vào bản thân là mình sẽ làm được rồi tương lai mới chờ đợi các em!
Nguồn : ADMIN :))Copyright © 2021 HOCTAPSGK