Bài tập 4 trang 43 SGK Giải tích 12
Bài tập 4 trang 43 SGK Giải tích 12
Bằng cách khảo sát hàm số, hãy tìm số nghiệm của các phương trình sau:
a) \(\small x^3 - 3x^2 + 5 = 0\).
b) \(\small -2x^3 + 3x^2 - 2 = 0\).
c) \(\small 2x^2 - x^4 = -1\).
Nhận xét và phương pháp giải:
Thực chất yêu cầu bài tập 3 là khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. Sau đó từ đồ thị hàm số suy ra số nghiệm của phương trình cần tìm.
Số nghiệm của các phương trình đã cho chính là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) ở vế trái của phương trình cới trục hoành ở câu a, b và với đường thẳng y = -1 ở câu c.
Lời giải:
Câu a:
Xét hàm số \(y=x^3 - 3x^2 + 5\)
Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\)
Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty .\)
Sự biến thiên:
Đạo hàm: y' = 3x2 - 6x = 3x(x - 2); y' = 0 ⇔ x = 0, x = 2.
Bảng biến thiên:
.PNG)
Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\); nghịch biến trên khoảng (0;2).
Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 0, giá trị cực đại yCĐ = y(0) = 5; đạt cực tiểu tại x = 2, giá trị cực tiểu yCT = y(2) = 1.
Đồ thị:
Tính đối xứng: y'' = 6x - 6; y'' = 0 ⇔ x = 1. Vậy đồ thị hàm số nhận điểm (1;3) làm tâm đối xứng.
Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm (0;5).
Đồ thị hàm số đi qua các điểm (-1;1); (3;5).
Đồ thị của hàm số:
Từ đồ thị ta thấy phương trình \(\small x^3 - 3x^2 + 5 = 0\) có duy nhất một nghiệm.
Câu b:
Xét hàm số y = -2x3 + 3x2 - 2
Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\)
Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty .\)
Sự biến thiên:
Đạo hàm: y' = -6x2 + 6x = -6x(x - 1); y' = 0 ⇔ x = 0,x = 1.
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên khoảng (0;1); nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right).\)
Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 1, giá trị cực đại yCĐ = y(1) = -1, hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, giá trị cực tiểu yCT = y(0) = -2.
Đồ thị hàm số:
Tính đối xứng:
\(y''=-12x+6;y''=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}.\)
Nên tọa độ tâm đối xứng là \(I\left ( \frac{1}{2};-\frac{3}{2} \right ).\)
Đồ thị hàm số đi qua các điểm: (-1;3); (2;-6).
Đồ thị của hàm số:
Từ đồ thị hàm số ta thấy phương trình \(\small -2x^3 + 3x^2 - 2 = 0\) có nghiệm duy nhất.
Câu c:
Xét hàm số y = f(x) = 2x2 - 2x4
Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\)
Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty .\)
Sự biến thiên:
Đạo hàm: y' = 4x - 4x3 = 4x(1 - x2); y' = 0 ⇔ x = 0,x = ±1.
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và (0;1); nghịch biến trên các khoảng (-1;0) và \(\left( {1; + \infty } \right).\)
Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = -1 và x = 1, giá trị cực đại yCĐ = y(-1) = y(1) = 1; đạt cực tiểu tại x = 0, giá trị cực tiểu yCT = y(0) = 0.
Đồ thị:
Tính đối xứng: Đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng.
Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại điểm (0;0); \(\left( {-\sqrt 2;0 } \right)\) và \(\left( {\sqrt 2;0 } \right)\); cắt truc Oy tại điểm (0;0).
Đồ thị của hàm số:
Đồ thị hàm số f(x) và đường thẳng y = - 1 như hình bên.
Từ đồ thị ta thấy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.
-- Mod Toán 12
Bạn có biết?
Toán học là ngành nghiên cứu trừu tượng về những chủ đề như: lượng (các con số), cấu trúc, không gian, và sự thay đổi.Các nhà toán học và triết học có nhiều quan điểm khác nhau về định nghĩa và phạm vi của toán học
Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thưTâm sự Lớp 12
Lớp 12 - Năm cuối ở cấp tiểu học, năm học quan trọng nhất trong đời học sinh trải qua bao năm học tập, bao nhiêu kì vọng của người thân xung quanh ta. Những nỗi lo về thi đại học và định hướng tương lai thật là nặng. Hãy tin vào bản thân là mình sẽ làm được rồi tương lai mới chờ đợi các em!
Nguồn : ADMIN :))Copyright © 2021 HOCTAPSGK