Bài tập 11 trang 46 SGK Giải tích 12
Bài tập 11 trang 46 SGK Giải tích 12
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số \(y=\frac{x+3}{x+1}\)
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng y = 2x + m luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt M và N.
c) Xác định m sao cho độ dài MN là nhỏ nhất.
d) Tiếp tuyến tại một điểm S bất kỳ của (C) luôn cắt hai tiệm cận của (C) tại P và Q. Chứng minh rằng S là trung điểm của PQ.
Câu a:
\(y=\frac{x+3}{x+1}\)
1) Tập xác định: R\{-1}.
2) Sự biến thiên:
\(y'=\frac{x+1-x-3}{(x+1)^2}=\frac{-2}{(x+1)^2}<0 \ \ \forall x\neq -1\)
Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right).\)
Cực trị: Hàm số không có cực trị.
Tiệm cận:
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x + 3}}{{x + 1}} = 1\) nên đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{x + 3}}{{x + 1}} = - \infty ,\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{x + 3}}{{x + 1}} = + \infty \)
Nên đường thẳng x = -1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số,
Bảng biến thiên:
.png)
3) Đồ thị:
Đồ thị hàm số nhận điểm (-1;1) làm tâm đối xứng.
Đồ thị cắt Ox tại điểm (-3;0) cắt Oy tại điểm (0;3).
.png)
Câu b:
Số giao điểm của đường thẳng y = 2x + m và (C) là số nghiệm của phương trình sau:
\(\frac{x+3}{x+1}=2x+m (*)\) (Điều kiện: \(x\neq -1\))
Ta có: \((*)\Rightarrow x+3=(2x+m)(x+1)\)
\(\Leftrightarrow 2x^2+(m+2)x+m=x+3\)
\(\Leftrightarrow 2x^2+(m+1)x+m-3=0 (**)\)
\(\Delta =(m+1)^2-8(m-3)\)
\(=m^2-6m+25>0 \ \ \forall m\).
Mặt khác không tồn tại m để x = -1 là nghiệm của (**), vì thế (*) luôn có hai nghiệm phân biệt.
Vậy với mọi giá trị của m thì (C) luôn cắt đường thẳng y = 2x + m tại hai điểm phân biệt M, N.
Câu c:
Hoành độ M, N là nghiệm của (**)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_M} = \frac{{ - m - 1 + \sqrt {{m^2} - 6m + 25} }}{4}\\
{x_N} = \frac{{ - m - 1 - \sqrt {{m^2} - 6m + 25} }}{4}
\end{array} \right.\)
\(\Rightarrow x_N-x_M=-\frac{\sqrt{m^2-6m+25}}{2}\)
và \(y_N-y_M=2x_N+m(2x_M+m)\)
\(=2(x_N-x_M)=-\sqrt{m^2-6m+25}\)
Do đó:
\(MN=\sqrt{(x_N-x_M)+(y_N-y_M)^2}\)
\(=\sqrt{\frac{1}{4}(m^2-6m+25)+(m^2-6m+25)}\)
\(=\sqrt{\frac{5}{4}(m^2-6m+25)}\)
\(=\sqrt{\frac{5}{4}(m-3)^2+16} \geq \sqrt{\frac{5}{4}.16}\)
\(\Leftrightarrow MN \geq \sqrt{20}\)
Dấu "bằng" xảy ra khi m = 3.
Vậy độ dài của MN nhỏ nhất là \(\sqrt{20}\) đạt được khi m = 3.
Câu d:
Vì \(S\in (C)\) nên \(S\left ( x_0;\frac{x_0+3}{x_0+1} \right )\), do đó tiếp tuyến tai S của (C) có phương trình:
\(y=-\frac{2}{(x_0+1)^2}(x-x_0)+\frac{x_0+3}{x_0+1}\)
Tiệm cận đứng là x = - 1 ⇒ toạ độ của P là nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{\begin{matrix} y=-\frac{2}{(x_0+1)^2}(x-x_0)+\frac{x_0+3}{x_0+1}\\ \\ x=-1 \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=-1\\ \\ y=\frac{x_0+5}{x_0+1} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow P \left ( -1; \frac{x_0+5}{x_0+1} \right )\)
Tiệm cận ngang là đường thẳng y = 1 ⇒ Toạ độ của Q là nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{\begin{matrix} y=-\frac{2}{(x_0+1)^2}(x-x_0)+\frac{x_0+3}{x_0+1}\\ \\ y=1 \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=2x_0+1\\ \\ y= 1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow Q(2x_0+1; 1)\)
Ta có toạ độ trung điểm của PQ là:
\(\left\{\begin{matrix} x=\frac{x_P+x_Q}{2}\\ \\ y=\frac{y_P+y_Q}{2} \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{-1+2x_0+1}{2}\\ \\ y=\frac{x_0+1}{2} \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=x_0 \ \ \ \ \\ \\ y=\frac{x_0+3}{x_0+1} \end{matrix}\right.\)
Vậy S là trung điểm của PQ.
-- Mod Toán 12
Bạn có biết?
Toán học là ngành nghiên cứu trừu tượng về những chủ đề như: lượng (các con số), cấu trúc, không gian, và sự thay đổi.Các nhà toán học và triết học có nhiều quan điểm khác nhau về định nghĩa và phạm vi của toán học
Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thưTâm sự Lớp 12
Lớp 12 - Năm cuối ở cấp tiểu học, năm học quan trọng nhất trong đời học sinh trải qua bao năm học tập, bao nhiêu kì vọng của người thân xung quanh ta. Những nỗi lo về thi đại học và định hướng tương lai thật là nặng. Hãy tin vào bản thân là mình sẽ làm được rồi tương lai mới chờ đợi các em!
Nguồn : ADMIN :))Copyright © 2021 HOCTAPSGK