Bài tập 1.77 trang 40 SBT Toán 12
Bài tập 1.77 trang 40 SBT Toán 12
Cho hàm số \(y = \frac{{(a - 1){x^3}}}{3} + a{x^2} + (3a - 2)x\).
a) Xác định a để hàm số luôn luôn đồng biến.
b) Xác định a để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với \(a = \frac{3}{2}\).
Từ đó suy ra đồ thị của hàm số: \(y = \left| {\frac{{{x^3}}}{6} + \frac{{3{x^2}}}{2} + \frac{{5x}}{2}} \right|\)
a) Ta có: \(y' = (a - 1){x^2} + 2ax + 3a - 2\).
+) Với \(a = 1,y' = 2x + 1\) đổi dấu khi x đi qua \( - \frac{1}{2}\). Hàm số không luôn luôn đồng biến.
+) Với thì với mọi x mà tại đó:
\(\begin{array}{l}
y' \ge 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a - 1 > 0\\
\Delta ' = - 2{a^2} + 5a - 2 \le 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a > 1\\
\left[ \begin{array}{l}
a \ge 2\\
a \le \frac{1}{2}
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow a \ge 2
\end{array}\)
(khi a = 2 thì y′ = 0 chỉ tại x = −2)
Vậy với \(a \ge 2\) hàm số luôn luôn đồng biến.
b) Đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình y = 0 có ba nghiệm phân biệt. Ta có:
\(\begin{array}{l}
y = 0 \Leftrightarrow x\left[ {\frac{{\left( {a - 1} \right){x^2}}}{3} + ax + 3a - 2} \right] = 0\\
\Leftrightarrow x\left[ {\left( {a - 1} \right){x^2} + 3ax + 9a - 6} \right] = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
\left( {a - 1} \right){x^2} + 3ax + 9a - 6 = 0\,\,\left( * \right)
\end{array} \right.
\end{array}\)
y = 0 có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (∗) có hai nghiệm phân biệt khác 0.
\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a - 1 \ne 0}\\
{\Delta > 0}\\
{P \ne 0}
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a - 1 \ne 0}\\
{9{a^2} - 4\left( {a - 1} \right)\left( {9a - 6} \right) > 0}\\
{9a - 6 \ne 0}
\end{array}} \right.
\end{array}\\
{ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a \ne 1}\\
{\frac{{10 - 2\sqrt 7 }}{9} < a < \frac{{10 + 2\sqrt 7 }}{9}}\\
{a \ne \frac{2}{3}}
\end{array}} \right.}
\end{array}\)
Vậy \(a \in \left( {\frac{{10 - 2\sqrt 7 }}{9};\frac{{10 + 2\sqrt 7 }}{9}} \right)\backslash \left\{ {1;\frac{2}{3}} \right\}\)
Khi \(a = \frac{3}{2}\) thì \(y = \frac{{{x^3}}}{6} + \frac{{3{x^2}}}{2} + \frac{{5x}}{2}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
y' = \frac{{{x^2}}}{2} + 3x + \frac{5}{2};\\
y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 6x + 5 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = - 1}\\
{x = - 5}
\end{array}} \right.
\end{array}\)
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
.png)
Từ đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^3}}}{6} + \frac{{3{x^2}}}{2} + \frac{{5x}}{2}\) ta suy ra ngay đồ thị hàm số \(y = \left| {\frac{{{x^3}}}{6} + \frac{{3{x^2}}}{2} + \frac{{5x}}{2}} \right|\) như sau:
.png)
-- Mod Toán 12
Bạn có biết?
Toán học là ngành nghiên cứu trừu tượng về những chủ đề như: lượng (các con số), cấu trúc, không gian, và sự thay đổi.Các nhà toán học và triết học có nhiều quan điểm khác nhau về định nghĩa và phạm vi của toán học
Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thưTâm sự Lớp 12
Lớp 12 - Năm cuối ở cấp tiểu học, năm học quan trọng nhất trong đời học sinh trải qua bao năm học tập, bao nhiêu kì vọng của người thân xung quanh ta. Những nỗi lo về thi đại học và định hướng tương lai thật là nặng. Hãy tin vào bản thân là mình sẽ làm được rồi tương lai mới chờ đợi các em!
Nguồn : ADMIN :))Copyright © 2021 HOCTAPSGK