Bài tập 1.48 trang 24 SBT Toán 12
Bài tập 1.48 trang 24 SBT Toán 12
Tìm các tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số sau:
a) \(y = \frac{{{x^2} - x - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)
b) \(y = \frac{{{x^2} + 3x}}{{{x^2} - 4}}\)
c) \(y = \frac{{2 - x}}{{{x^2} - 4x + 3}}\)
d) \(y = \frac{{3x + \sqrt {{x^2} + 1} }}{{2 + \sqrt {3{x^2} + 2} }}\)
e) \(y = \frac{{5x - 1 - \sqrt {{x^2} - 2} }}{{x - 4}}\)
a) Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ \pm }} \frac{{{x^2} - x - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = - \infty \) nên là tiệm cận đứng.
Từ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{{x^2} - x - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{1 - \frac{1}{x} - \frac{2}{{{x^2}}}}}{{{{\left( {1 - \frac{1}{x}} \right)}^2}}} = 1\) suy ra là tiệm cận ngang.
b) Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{{x^2} + 3x}}{{{x^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{{x^2} + 3x}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{{x^2} + 3x}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = - \infty \) nên là tiệm cận đứng.
Do
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{{x^2} + 3x}}{{{x^2} - 4}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{{x^2} + 3x}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = - \infty \)
nên là tiệm cận đứng thứ hai.
Ta lại có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{{x^2} + 3x}}{{{x^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{1 + \frac{3}{x}}}{{1 - \frac{4}{{{x^2}}}}} = 1\) nên là tiệm cận ngang.
c) Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ \pm }} \frac{{2 - x}}{{{x^2} - 4x + 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ \pm }} \frac{{2 - x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \mp \infty \)
nên là tiệm cận đứng.
Mặt khác,
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ \pm }} \frac{{2 - x}}{{{x^2} - 4x + 3}} = \mp \infty \) nên cũng là tiệm cận đứng.
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{2 - x}}{{{x^2} - 4x + 3}} = 0\) nên là tiệm cận ngang.
d) TXĐ:
Từ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3 + \sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{\frac{2}{x} + \sqrt {3 + \frac{2}{{{x^2}}}} }}= \frac{{4\sqrt 3 }}{3}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{3 - \sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{\frac{2}{x} - \sqrt {3 + \frac{2}{{{x^2}}}} }} = - \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\)
Suy ra đồ thị hàm số có các tiệm cận ngang:
\(y = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}\,khi\,x \to + \infty \)
\(y = - \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\,khi\,x \to - \infty \)
Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
e) TXĐ:
\(D = \left( { - \infty ; - \sqrt 2 } \right) \cup \left( {\sqrt 2 ;4} \right) \cup \left( {4; + \infty } \right)\)
Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{5 - \frac{1}{x} - \sqrt {1 - \frac{2}{{{x^2}}}} }}{{1 - \frac{4}{x}}} = 4\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{5 - \frac{1}{x} + \sqrt {1 - \frac{2}{{{x^2}}}} }}{{1 - \frac{4}{x}}} = 6\)
Cho nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang
\(y = 4\,khi\,x \to + \infty \)
\(y = 6\,khi\,x \to - \infty \)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ \pm }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ \pm }} \frac{{5x - 1 - \sqrt {{x^2} - 2} }}{{x - 4}} = \pm \infty \)
Cho nên đường thẳng là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
-- Mod Toán 12
Bạn có biết?
Toán học là ngành nghiên cứu trừu tượng về những chủ đề như: lượng (các con số), cấu trúc, không gian, và sự thay đổi.Các nhà toán học và triết học có nhiều quan điểm khác nhau về định nghĩa và phạm vi của toán học
Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thưTâm sự Lớp 12
Lớp 12 - Năm cuối ở cấp tiểu học, năm học quan trọng nhất trong đời học sinh trải qua bao năm học tập, bao nhiêu kì vọng của người thân xung quanh ta. Những nỗi lo về thi đại học và định hướng tương lai thật là nặng. Hãy tin vào bản thân là mình sẽ làm được rồi tương lai mới chờ đợi các em!
Nguồn : ADMIN :))Copyright © 2021 HOCTAPSGK