Chương 1: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số

Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:

a) \(y = 4 + 3x - x^2\).                                    

b) \(y =\frac{1}{3} x^3 + 3x^2 - 7x - 2\).

c) \(y = x^4 - 2x^2 + 3\).                               

d) \(y = -x^3 + x^2 - 5\).

Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:

a) \(y = \frac{{3x + 1}}{{1 - x}}\).

b) \(y = \frac{{{x^2} - 2x}}{{1 - x}}\).

c) \(y = \sqrt {{x^2} - x - 20} \).

d) \(y = \frac{{2x}}{{{x^2} - 9}}\).

Chứng minh rằng hàm số \(y=\frac{x}{x^{2}+1}\) đồng biến trên khoảng (-1;1) và nghịch biến trên các khoảng \((-\infty; -1)\) và \((1 ; +\infty)\).

Chứng minh rằng hàm số \(y=\sqrt{2x-x^{2}}\) đồng biến trên khoảng \((0 ; 1)\) và nghịch biến trên các khoảng \((1 ; 2)\).

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a)  \(\tan x > x (0 < x <\frac{\pi }{2} )\)                              

b) \(\tan x > x +\frac{x^3}{3} (0 < x < \frac{\pi }{2})\)

Áp dụng quy tắc I, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau:

a) \(y = 2x^3 + 3x^2 - 36x - 10\).  

b) \(y = x^4+ 2x^2 - 3\).

c) \(y = x + \frac{1}{x}\).                              

d) \(y = x^3(1 - x)^2\).

e) \(y = \sqrt {x^2-x+1}\).

Chứng minh rằng hàm số \(y = \sqrt {\left| x \right|} \) 

không có đạo hàm tại x = 0 nhưng vẫn đạt cực tiểu tại điểm đó.

Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số \(y = x^3 - mx^2 - 2x + 1\) luôn luôn có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu.

Tìm a và b để các cực trị của hàm số \(y=\frac{5}{3}a^{2}x^{3}+2ax^{2}-9x+b\) đều là những số dương và \({x_0} =  - \frac{5}{9}\) là điểm cực đại.

Xác định giá trị của tham số m để hàm số \(y = \frac{{{x^2} + mx + 1}}{{x + m}}\) đạt cực đại tại x = 2.

Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

a) \(y = x^3 - 3x^2 - 9x + 35\) trên các đoạn \([-4; 4]\) và \([0;5]\).

b) \(y = x^4 - 3x^2 + 2\) trên các đoạn \([0;3]\) và \([2;5]\).

c) \(y =\frac{ (2-x)}{(1-x)}\) trên các đoạn \([2;4]\) và \([-3;-2]\).

d) \(y =\sqrt{(5-4x)}\) trên đoạn \([-1;1]\).

Trong số các hình chữ nhật cùng có chu vi 16 cm, hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.

Trong tất cả các hình chữ nhật cùng có diện tích 48 m² , hãy xác định hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất.

Tính giá trị lớn nhất của các hàm số sau:

a) \(y=\frac{4}{1+x^2}\).

b) \(y=4x^3-3x^4\).

Tính giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) \(y = \left | x \right |\);

b) \(y = x+\frac{4}{x} ( x > 0)\) 

Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số:

a)  \(y=\frac{x}{2-x}\).                                

b) \(y=\frac{-x+7}{x+1}\).

c)  \(y=\frac{2x-5}{5x-2}\).

d) \(y=\frac{7}{x}-1\).

Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số:

 a) \(y=\frac{2-x}{9-x^2}\) ;                                      

b) \(y=\frac{x^2+x+1}{3-2x-5x^2}\);

c) \(y=\frac{x^2-3x+2}{x+1}\);                              

d) \(y=\frac{\sqrt {x}+1}{\sqrt {x}-1}\);

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc ba sau:

a) \(\small y = 2 + 3x - x^3\).                             

b) \(\small y = x^3 + 4x^2 + 4x\).

c) \(\small y = x^3 + x^2+ 9x\).                           

d) \(\small y = -2x^3 + 5\).

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc bốn sau:

a) \(\small y = -x^4 + 8x^2 - 1\).              

b) \(\small y = x^4 - 2x^2 + 2\).

c) \(\small y=\frac{1}{2}x^4+x^2-\frac{3}{2}\).

d) \(\small y = -2x^2 - x^4 + 3\).

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số phân thức:

a) \(y=\frac{x+3}{x-1}\).

b) \(y=\frac{1-2x}{2x-4}\).

c) \(y=\frac{-x+2}{2x+1}\).

Bằng cách khảo sát hàm số, hãy tìm số nghiệm của các phương trình sau:

a) \(\small x^3 - 3x^2 + 5 = 0\).    

b) \(\small -2x^3 + 3x^2 - 2 = 0\).  

c) \(\small 2x^2 - x^4 = -1\).

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số \(\small y = -x^3 + 3x + 1\)

b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận về số nghiệm của phương trình sau theo tham số m.

\(\small x^3 - 3x + m = 0.\)

Cho hàm số \(y=\frac{mx-1}{2x+m}\).

a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.

b) Xác định m để tiệm cận đứng đồ thị đi qua \(A(-1 ; \sqrt{2}).\)

c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2.

Cho hàm số \(y=\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{2}x^2+m\).

a) Với giá trị nào của tham số m, đồ thị của hàm số đi qua điểm (-1;1)?

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng \(\frac{7}{4}\).

Cho hàm số \(y=x^3+(m+3)x^2+1-m\) (m là tham số) có đồ thị là (C_m).

a) Xác định m để hàm số có điểm cực đại là x = -1.

b) Xác định m để đồ thị (C_m) cắt trục hoành tại x = -2.

Cho hàm số \(y = \frac{{\left( {m + 1} \right)x - 2m + 1}}{{x - 1}}\) (m là tham số) có đồ thị là (G).

 a) Xác định m để đồ thị (G) đi qua điểm (0 ; -1).

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m tìm được.

c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị trên tại giao điểm của nó với trục tung.

Phát biểu các điều kiện đồng biến, nghịch biến của hàm số. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:

\(y=-x^3+2x^2-x-7\); \(y=\frac{x-5}{1-x}\)

Nêu cách tìm cực đại, cực tiểu của hàm số nhờ đạo hàm. Tìm các cực trị của hàm số \(y=x^4-2x^2+2\).

Nêu cách tìm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Áp dụng để tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số: \(y=\frac{2x+3}{2-x}\)

Nhắc lại sơ đồ khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

Cho hàm số y = 2x² + 2mx + m -1 có đồ thị là (C_m), m là tham số

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.

b) Xác định m để hàm số:

- Đồng biến trên khoảng \((-1, +\infty )\).

- Có cực trị trên khoảng \((-1, +\infty )\).

c) Chứng minh rằng (C_m) luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt với mọi m.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) của hàm số:

\(f(x) = -x^3+3x^2+9x+2\)

b) Giải bất phương trình f’(x-1) > 0

c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x₀, biết rằng f’’(x₀) = - 6.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: y = x³ + 3x² + 1

b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận số nghiệm của phương trình sau theo m: \(x^3+3x^2+1=\frac{m}{2}\).

c) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị (C).

Cho hàm số f(x)= x³ – 3mx² + 3(2m-1)x + 1 (m là tham số).

a) Xác định m để hàm số đồng biến trên một tập xác định.

b) Với giá trị nào của tham số m, hàm số có một cực đại và một cực tiểu.

c) Xác định m để f’’(x) > 6x.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

\(f(x)=\frac{1}{2}x^4-3x^2+\frac{3}{2}\)

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình f’’(x) = 0.

c) Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình: x⁴ – 6x² + 3 = m.

Cho hàm số \(y=-{{x}^{4}}+2m{{x}^{2}}-2m+1\) với (m tham số) có đồ thị \(\left( {{C}_{m}} \right)\).

a) Biện luận theo m số cực trị của hàm số.

b) Với giá trị nào của m thì \(\left( {{C}_{m}} \right)\) cắt trục hoành?

c) Xác định m để \(\left( {{C}_{m}} \right)\) có cực đại, cực tiểu.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số \(y=\frac{x+3}{x+1}\)

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng y = 2x + m luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt M và N.

c) Xác định m sao cho độ dài MN là nhỏ nhất.

d) Tiếp tuyến tại một điểm S bất kỳ của (C) luôn cắt hai tiệm cận của (C) tại P và Q. Chứng minh rằng S là trung điểm của PQ.

Số điểm cực trị của hàm số \(y=-\frac{1}{3}x^3-x+7\) là:

(A) 1;

(B) 0;

(C) 3;

(D) 2.

Số điểm cực đại của hàm số y = x⁴ + 100 là:

(A) 0;

(B) 1;

(C) 2; 

(D) 3.

Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y=\frac{1-x}{1+x}\) là:

(A) 1;

(B) 2;

(C) 3;

(D) 0;

Hàm số \(y=\frac{2x-5}{x+3}\) đồng biến trên:

(A) \(\mathbb{R}\)

(B) \((-\infty ;3)\)

(C) \((-3;+\infty)\)

(D) \(R\setminus \left \{ -3 \right \}\)

Tiếp tuyến tại điểm cực tiểu của đồ thị hàm số \(y=\frac{1}{3}x^3-2x^2+3x-5\) là đường thẳng:

(A) Song song với đường thẳng x = 1;

(B) Song song với trục hoành;

(C) Có hệ số góc dương;

(D) Có hệ số góc bằng -1.

Với các giá trị nào của a hàm số y = ax - x³ nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)?

​​​​​Tìm các giá trị của tham số a để hàm số: \(f(x)=\frac{1}{3}x^3+ax^2+4x+3\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Chứng minh rằng hàm số: f(x) = cos2x - 2x + 3 nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) \(\sin x < x\) với mọi x > 0, \(\sin x > x\) với mọi x < 0.

b) \(\cos x > 1 - \frac{{{x^2}}}{2}\) với mọi \(x\neq 0\)

c) \(\sin x > x - \frac{{{x^3}}}{6}\) với mọi x > 0; 

\(\sin x < x - \frac{{{x^3}}}{6}\) với mọi x < 0\frac{x^3}{6}\)>

Chứng minh rằng

\(sinx +tanx > 2x\) với mọi \(x\in \left ( 0;\frac{\pi }{2} \right )\)​

Số dân của một thị trấn sau t năm kể từ năm 1970 ước tính bởi công thức \(f(t)=\frac{26t+10}{t+5}\)(f(x) được tính bằng nghìn người)

a) Tính số dân của thị trấn vào đầu năm 1980 và đầu năm 1995

b) Xem f là một hàm số xác định trên nữa khoảng \([0; +\infty )\). Tính f'(t) và xét chiều biến thiên của f trên nữa khoảng \([0; +\infty )\).

c) Đạo hàm của hàm số f biểu thị tốc độ tăng dần số cảu thị trấn (tính bằng nghìn người/ năm)

- Tính tốc độ tăng dân số vào đầu năm 1990 của thị trấn

- Tính tốc độ tăng dân số được dự kiến vào năm 2008.

- Vào năm nào thì tốc độ tăng dân số là 0,125 nghìn người/ năm.

Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:

a) \(y = 3{x^2} - 8{x^3}\);

b) \(y = 16x + 2{x^2} - \frac{{16}}{3}{x^3} - {x^4}\);

c) \(y = {x^3} - 6{x^2} + 9x\);

d) \(y = {x^4} + 8{x^2} + 5\)

Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:

a) \({y = \frac{{3 - 2x}}{{x + 7}}}\);

b) \(y = \frac{1}{{{{(x - 5)}^2}}}\);

c) \(y = \frac{{2x}}{{{x^2} - 9}}\);

d) \(y = \frac{{{x^4} + 48}}{x}\);

e) \(y = \frac{{{x^2} - 2x + 3}}{{x + 1}}\);

g) \(y = \frac{{{x^2} - 5x + 3}}{{x - 2}}\).

Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:

a) \(y = \frac{{\sqrt x }}{{x + 100}}\);

b) \(y = \frac{{{x^3}}}{{\sqrt {{x^2} - 6} }}\).

Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:

a) \({y = x - \sin x,x \in [0;2\pi ]}\);

b) \({y = \sin \frac{1}{x},(x > 0)}\).

Xác định tham số m để hàm số sau:

a) \(y = \frac{{mx - 4}}{{x - m}}\) đồng biến trên từng khoảng xác định;

b) \(y =  - {x^3} + m{x^2} - 3x + 4\) nghịch biến trên (−∞;+∞).

Chứng minh phương trình sau có nghiệm duy nhất.

\(3(\cos x - 1) + 2\sin x + 6x = 0\)

Xác định giá trị của b để hàm số \(f(x) = \sin x - bx + c\) nghịch biến trên toàn trục số.

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. \(y = \sin x\) là hàm số chẵn.

B. Hàm số \(y = \frac{{\sqrt {3x + 5} }}{{x - 1}}\) xác định trên R.

C. Hàm số \(y = {x^3} + 4x - 5\) đồng biến trên R.

D. Hàm số \(y = \sin x + 3x - 1\) nghịch biến trên R.

Hàm số \(y = \sqrt {25 - {x^2}} \) nghịch biến trên khoảng:

A.  (−∞;0)

B.  (−5;0)

C.  (0;5)

D.  (5;+∞)

Hàm số \(y = \frac{x}{{\sqrt {16 - {x^2}} }}\) đồng biến trên khoảng:

A.  (4;+∞)

B.  (−4;4)

C. (−∞;−4)

D. R

Phương trình nào sau đây có nghiệm duy nhất trên R?

A. \(3{\sin ^2}x - {\cos ^2}x + 5 = 0\)

B. \({x^2} - 5x + 6 = 0\)

C. \({x^5} + {x^3} - 7 = 0\)

D. \(3\tan x - 5 = 0\)

Phương trình nào sau đây có nghiệm duy nhất trên R?

A. \({x^2} - 7x + 12 = 0\)

B. \({x^3} + 5x + 6 = 0\)

C. \({x^4} - 3{x^2} + 1 = 0\)

D. \(2\sin x{\cos ^2}x - 2\sin x - {\cos ^2}x + 1 = 0\)

Phương trình nào sau đây có nghiệm duy nhất trên R?

A. \((x - 5)({x^2} - x - 12) = 0\)

B. \(- {x^3} + {x^2} - 3x + 2 = 0\)

C. \({\sin ^2}x - 5\sin x + 4 = 0\)

D. \(\sin x - \cos x + 1 = 0\)

Tìm giá trị của tham số m để hàm số \(y = {x^3} - 2m{x^2} + 12x - 7\) đồng biến trên R.

A. \(m = 4\)

B. \(m \in (0; + \infty )\)

C. \(m \in \left( { - \infty ;0} \right)\)

D. \( - 3 \le x \le 3\)

Tìm giá trị của tham số m để hàm số \(y = \frac{{ - mx - 5m + 4}}{{x + m}}\) nghịch biến trên từng khoảng xác định.

A.  m < 1 hoặc m > 4

B.  0 < m < 1

C.  m > 4

D.  1 ≤ m ≤ 4

Cho hàm số \(y = {x^3} + \frac{3}{2}{x^2}\). Khoảng cách d giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

A. \(d = 2\sqrt 5 \)

B. \(d = \frac{{\sqrt 5 }}{4}\)

C. \(d = \sqrt 5 \)

D. \(d = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\)

Xác định giá trị của tham số m để hàm số sau có cực trị

 \(y = {x^3} - 3(m - 1){x^2} - 3(m + 3)x - 5\)

A. \(m \ge 0\)

B. \(m \in R\)

C. \(m < 0\)

D. \(m \in [ - 5;5]\)

Cho hàm số \(y =  - {x^4} + 4{x^2} - 3\). Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hàm số có một cực đại và hai cực tiểu.

B. Hàm số có hai cực đại và một cực tiểu.

C. Hàm số chỉ có một cực tiểu.

D. Hàm số chỉ có một cực đại.

Xác định giá trị của tham số m để hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + mx - 5\) có cực trị:

Hàm số \(y = {x^4} - 5{x^2} + 4\) có mấy điểm cực đại?

Xác định giá trị của tham số m để hàm số sau không có cực trị

\(y = \frac{{{x^2} + 2mx - 3}}{{x - m}}\)

Chứng minh rằng hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
 - 2x,\,\,\,\,x \ge 0\\
\sin \frac{x}{2},\,\,x < 0
\end{array} \right.\)

không có đạo hàm tại x = 0 nhưng đạt cực đại tại điểm đó.

Xác định giá trị của tham số m để hàm số \(y = {x^3} - m{x^2} + \left( {m - \frac{2}{3}} \right)x + 5\) có cực trị tại x = 1. Khi đó, hàm số đạt cực tiểu hay đạt cực đại ? Tính cực trị tương ứng.

Xác định giá trị của tham số m để hàm số \({y = {x^2} - 2{x^2} + mx + 1}\) đạt cực tiểu tại x = 1.

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x) = x + \frac{9}{x}\) trên đoạn [2;4].

Tìm các giá trị của tham số m để phương trình \({x^3} - 3{x^2} - m = 0\) có ba nghiệm phân biệt.

Cho số dương m. Hãy phân tích m thành tổng của hai số dương sao cho tích của chúng là lớn nhất.

Một chất điểm chuyển động theo quy luật s = 6t²−t³. Tính thời điểm t (giây) tại đó vận tốc v(m/s) của chuyển động đạt giá trị lớn nhất.

Hãy tìm tam giác vuông có diện tích lớn nhất nếu tổng của một cạnh góc vuông và cạnh huyền bằng hằng số a (a > 0).

Giá trị lớn nhất của hàm số \(y =  - {x^2} + 4x - 5\) trên đoạn [0;3] bằng:

A. - 1

B. 1

C. 2

D. 0

Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x) = {x^3} + 3{x^2} - 9x - 7\) trên đoạn [-4;3] bằng: 

A. - 5

B. 0

C. 7

D. - 12

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x) = \frac{{2x - 1}}{{x - 3}}\) trên đoạn [0;2] bằng:

A. \(\frac{1}{3}\) và 3

B. \(\frac{3}{2}\) và -1

C. 2 và -3

D. \(\frac{1}{2}\) và 5

Tìm hai số có hiệu là 13 sao cho tích của chúng là bé nhất.

A. 13 và 0

B. \(\frac{{13}}{2}\) và  \( - \frac{{13}}{2}\)

C. 15 và 2

D. 30 và 15

Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \frac{1}{{{x^2} + x + 1}}\) trên khoảng \(( - \infty ; + \infty )\) là:

A. 1

B. \(\frac{4}{3}\)

C.  \(\frac{5}{3}\)

D. 0 

Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{1}{{\sin x + \cos x}}\) trên khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) là:

A. 1

B. \(2\sqrt 2 \)

C.  \( - \sqrt 2 \)

D. \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

a) Cho hàm số \(y = \frac{{3 - x}}{{x + 1}}\) có đồ thị H (H.1.1)

Chỉ ra một phép biến hình biến (H) thành (H') có tiệm cận ngang y = 2 và tiệm cận đứng x = 2.

b) Lấy đối xứng (H') qua gốc O, ta được hình (H''). Viết phương trình của (H'').

Số tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = \frac{{3x + 1}}{{3 - 2x}}\) là:

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2{x^2} - x + 2}}{{{x^2} - 5}}\) là:

A.  \(x = 2\)

B. \(x =  \pm \sqrt 5 \)

C. \(x =  \pm 1\)

D.  \(x = 3\)

Tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{ - 3}}{{x - 2}}\) là:

A.  x = 2, y = 0

B.  x = 0, y = 2

C.  x = 1, y = 1

D.  x = −2, y = −3

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 

\(y = \frac{{{x^2} - 12x + 27}}{{{x^2} - 4x + 5}}\) là:

A.  y = 1

B.  y = 5

C.  y = 3

D.  y = 10

Cho hàm số \(y = \frac{{3x - 1}}{{x + 4}}\). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Tính OI.

A. 3

B. 6

C. 5

D. 2

Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số:

a) \(y = 2 - 3x - {x^2}\)

b) \(y = {x^3} - {x^2} + x\)

c) \(y =  - {x^4} + 2{x^3} + 3\)

Tìm giá trị của tham số m để hàm số \(y = (m - 1){x^4} - m{x^2} + 3\) có đúng một cực trị

Cho hàm số \(y = \frac{1}{4}{x^3} - \frac{3}{2}{x^2} + 5\)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho;

b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình \({x^3} - 6{x^2} + m = 0\) có ba nghiệm phân biệt

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

\(y =  - {x^3} + 3x + 1\)

b) Chỉ ra phép biến hình biến (C) thành đồ thị (C') của hàm số

\(y = {(x + 1)^3} - 3x - 4\)

c) Dựa vào đồ thị (C'), biện luận theo m số nghiệm của phương trình 

\({(x + 1)^3} = 3x + m\)

d) Viết phương trình tiếp tuyến (d) của đồ thị (C'), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(y =  - \frac{x}{9} + 1\)

Biện luận theo k số nghiệm của phương trình

a) \({(x - 1)^2} = 2|x - k|\)

b) \({(x + 1)^2}(2 - x) = k\)

Cho hàm số 

\(y = {x^3} - (m + 4){x^2} - 4x + m\,\,(1)\)

a) Tìm các điểm mà đồ thị của hàm số (1) đi qua với mọi giá trị của m.

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đồ thị của hàm số (1) luôn luôn có cực trị.

c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của (1) khi m = 0.

d) Xác định k để (C) cắt đường thẳng y = kx tại ba điểm phân biệt

Cho hàm số \(y = 2{x^4} - 4{x^2}\left( 1 \right)\)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).

b) Với giá trị nào của m, phương trình \({x^2}|{x^2} - 2| = m\) có đúng 6 nghiệm thực phân biệt?

Cho hàm số: \(y = \frac{{{x^4}}}{4} - 2{x^2} - \frac{9}{4}\)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của nó với trục Ox.

c) Biện luận theo k số giao điểm của (C) với đồ thị (P) của hàm số: \(y = k - 2{x^2}\)

Cho hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 2}}\)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng - 5.

Cho hàm số

\(y = \frac{{4 - x}}{{2x + 3m}}\)

a) Xét tính đơn điệu của hàm số

b) Chứng minh rằng với mọi m, tiệm cận ngang của đồ thị (C_m) của hàm số đã cho luôn đi qua điểm \(B\left( { - \frac{7}{4}; - \frac{1}{2}} \right)\)

c) Biện luận theo m số giao điểm của (C_m) và đường phân giác của góc phần tư thứ nhất

d) Vẽ đồ thị của hàm số \(y = \left| {\frac{{4 - x}}{{2x + 3}}} \right|\)

Hàm số \(y = {x^3} + (m + 3){x^2} + mx - 2\) đạt cực tiểu tại x = 1. Khi :

A. m = 1

B. m = 2

C. m =−3

D. m = 4

Hàm số \(y = {x^4} + ({m^2} - 4){x^2} + 5\) có ba cực trị khi :

A. −2 < m < 2

B. m = 2

C. m < −2

D. m > 2

Biểu thức tổng quát của hàm số có đồ thị như hình 1.6 là :

A. \(y = a{x^2} + bx + c\) với \(a \ne 0\)

B. \(y = a{x^3} + cx + d\) với a < 0

C. \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) với a > 0 

      và \({b^2} - 3ac > 0\)

D. \(y = {x^3}\)

Xác định giá trị của tham số m để hàm số 

\(y = {x^3} - 3(m - 1){x^2} - 3(m + 1)x - 5\) 

có cực trị.

A. \(m > 0\)

B. \( - 1 < m < 1\)

C. \(m \le 0\)

D. \(\forall m \in R\)

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2}\) tại điểm có hoành độ x = −2 là :

A. y = −24x+40

B. y = 24x−40

C. y = −24x−40

D. y = −24x

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2} - 3\) song song với đường thẳng y = 24x−1 là : 

A. y = 24x−43

B. y = −24x−43

C. y = 24x+43

D. y = 24x+1

Giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{2x - 1}}\) và đường thẳng y = x+2 là:

A. \(\left( {1;3} \right)\) và \(\left( { - \frac{3}{2};\frac{1}{2}} \right)\)

B. \(\left( {1;3} \right)\) và \(\left( {0;2} \right)\)

C. \(\left( {0; - 1} \right)\) và \(\left( { - \frac{3}{2};\frac{1}{2}} \right)\)

D. \(\left( {0; - 1} \right)\) và \(\left( {0;2} \right)\)

Cho hàm số: \(y = 4{x^3} + mx\) (m là tham số) (1)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với m = 1.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng \(y = 13x + 1\).

c) Xét sự biến thiên của hàm số (1) tùy thuộc giá trị của m.

Cho hàm số: \(y =  - ({m^2} + 5m){x^3} + 6m{x^2} + 6x - 5\)

a) Xác định m để hàm số đơn điệu trên R. Khi đó, hàm số đồng biến hay nghịch biến? Tại sao?

b) Với giá trị nào của m thì hàm số đạt cực đại tại x = 1?

Cho hàm số \(y = \frac{{(a - 1){x^3}}}{3} + a{x^2} + (3a - 2)x\).

a) Xác định a để hàm số luôn luôn đồng biến.

b) Xác định a để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.

c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với \(a = \frac{3}{2}\).

Từ đó suy ra đồ thị của hàm số: \(y = \left| {\frac{{{x^3}}}{6} + \frac{{3{x^2}}}{2} + \frac{{5x}}{2}} \right|\)

Cho hàm số: \(y = {x^3} - 3{x^2}\)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.

b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình \({x^3} - 3{x^2} - m = 0\) có ba nghiệm phân biệt.

Cho hàm số: \(y =  - {x^4} - {x^2} + 6\)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng: \(y = \frac{1}{6}x - 1\)

Cho hàm số: \(y = f\left( x \right) = {x^4} - 2m{x^2} + {m^3} - {m^2}\)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.

b) Xác định m để đồ thị (C_m) của hàm số đã cho tiếp xúc với trục hoành tại hai điểm phân biệt.

Cho hàm số \(y = \frac{{3(x + 1)}}{{x - 2}}\)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

b) Viết phương trình các đường thẳng đi qua O(0;0) và tiếp xúc với (C).

c) Tìm tất cả các điểm trên (C) có tọa độ là các số nguyên.

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số \(y = \frac{{x + 2}}{{x - 3}}\)

b) Chứng minh rằng giao điểm I của hai tiệm cận của (C) là tâm đối xứng của (C).

c) Tìm điểm M trên đồ thị của hàm số sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang.

Chứng minh rằng phương trình \(3{x^5} + 15x - 8 = 0\) chỉ có một nghiệm thực.

Hàm số \(y =  - \frac{{{x^4}}}{2} + 1\) đồng biến trên khoảng:

A. \(\left( { - \infty ;0} \right)\)           

B. \(\left( {0; + \infty } \right)\)

C. \(\left( { - 3;4} \right)\)             

D. \(\left( { - \infty ;1} \right)\)

Xác định giá trị của tham số m để hàm số \(y = \frac{{{x^2} + \left( {m + 1} \right)x - 1}}{{2 - x}}\) nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó.

A. \(m =  - 1\)               

B. \(m > 1\) 

C. \(m \in \left( { - 1;1} \right)\)       

D. \(m \le  - \frac{5}{2}\)

Hoành độ các điểm cực tiểu của hàm số \(y = {x^4} + 3{x^2} + 2\) là:

A. x = −1               

B. x = 5

C. x = 0                   

D. x = 1, x = 2

Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \frac{4}{{{x^2} + 2x + 3}}\) là:

A. 3                                   

B. 2

C. −5                                 

D. 10

Cho hàm số \(y = \frac{{x - 2}}{{x + 3}}\). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.

B. Hàm số đồng biến trên khoảng \(( - \infty ; + \infty ).\)

C. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(( - \infty ; + \infty ).\)

Tọa độ giao điểm của đồ thị các hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}}\) và y = x+1 là:

A. (2;2)               

B. (2;−3)

C. (−1;0)             

D. (3;1)

Số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} + x + 4} \right)\) với trục hoành là:

A. 2                                       

B. 3

C. 0                                       

D. 1

Xác định giá trị của tham số m để hàm số \(y = {x^3} + m{x^2} - 3\) có cực đại và cực tiểu.

A. m = 3                             

B. m > 0

C. m ≠ 0                             

D. m < 0

Xác định giá trị của tham số m để phương trình \(2{x^3} + 3m{x^2} - 5 = 0\) có nghiệm duy nhất.

A. \(m = \sqrt[3]{5}\)             

B. \(m < \sqrt[3]{5}\)

C. \(m > \sqrt[3]{5}\)             

D. \(m \in R\)

Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây:

A. Hàm số \(y = {x^3} - 5\) có hai cực trị.

B. Hàm số \(y = \frac{{{x^4}}}{4} + 3{x^2} - 5\) luôn đồng biến.

C. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{3x - 2}}{{5 - x}}\) là y = − 3.

D. Đồ thị hàm số \(y = \frac{{3{x^2} - 2x + 5}}{{{x^2} + x + 7}}\) có hai tiệm cận đứng

Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau đây:

A. Hàm số \(y = 4\cos x - 5{\sin ^2}x - 3\) là hàm số chẵn.

B. Đồ thị hàm số \(y = \frac{{3{x^2} - 2x + 5}}{{{x^2} + x - 7}}\) có hai tiệm cận đứng.

C. Hàm số \(y = \frac{{2x - 3}}{{3x + 4}}\) luôn luôn nghịch biến.

D. Hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{ - 2x,\,\,\,x \ge 0}\\
{\sin \frac{x}{3},\,\,x < 0}
\end{array}} \right.\) không có đạo hàm tại x = 0.

Xác định giá trị của tham số m để phương trình \({x^3} + m{x^2} + x - 5 = 0\) có nghiệm dương.

A. \(m = 5\)                                   

B. \(m \in R\)

C. \(m =  - 3\)                               

D. \(m < 0\)

Xác định giá trị của tham số m để phương trình \(\frac{1}{3}{x^3} - \frac{1}{2}m{x^2} - 5 = 0\) có nghiệm duy nhất.

A. \(m < \sqrt[3]{{ - 30}}\)                       

B. \(0 < m < 1\)

C. \(m < 0\)                               

D. \(m > \sqrt[3]{{ - 30}}\)

Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

\(\begin{array}{l}
a)\,y = 2{x^3} + 3{x^2} + 1\\
b)\,y = {x^3} - 2{x^2} + x + 1\\
c)y = x + \frac{3}{x}\\
d)y = x - \frac{2}{x}\\
e)y = {x^4} - 2{x^2} - 5\\
f)y = \sqrt {4 - {x^2}} 
\end{array}\)

Chứng minh rằng:

a) Hàm số \(y = \frac{{x - 2}}{{x + 2}}\) đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó

b) Hàm số \(y = \frac{{ - {x^2} - 2x + 3}}{{x + 1}}\) nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó

Chứng minh rằng các hàm số sau đây đồng biến trên R

a) \(f\left( x \right) = {x^3} - 6{x^2} + 17x + 4\)

b) \(f\left( x \right) = {x^3} + x - \cos x - 4\)

Với các giá trị nào của a, hàm số \(y = ax - {x^3}\) nghịch biến trên R

Tìm các giá trị của tham số a để hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^3} + a{x^2} + 4x + 3\) đồng biến trên R

Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

\(\begin{array}{l}
a)y = \frac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + 4x - 5\\
b)y =  - \frac{4}{3}{x^3} + 6{x^2} - 9x - \frac{2}{3}\\
c)y = \frac{{{x^2} - 8x + 9}}{{x - 5}}\\
d)y = \sqrt {2x - {x^2}} \\
e)y = \sqrt {{x^2} - 2x + 3} \\
f)y = \frac{1}{{x + 1}} - 2x
\end{array}\)

Chứng minh rằng hàm số f(x) = cos2x - 2x + 3 nghịch biến trên R

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) sin x < x với mọi x > 0, sin x > x với mọi x < 0

b) \(\cos x > 1 - \frac{{{x^2}}}{2}\) với mọi \(x \ne 0\)

c) \(\sin x > x - \frac{{{x^3}}}{6}\) với mọi x > 0, \(\sin x < x - \frac{{{x^3}}}{6}\) với mọi x < 0

Chứng minh rằng sinx + tanx > 2x với mọi \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\)

Số dân của một thị trấn t năm kể từ năm 1970 được ước tính bởi công thức \(f\left( t \right) = \frac{{26t + 10}}{{t + 5}}\) (f(t) được tính bằng nghìn người)

a) Tính số dân của thị trấn vào đầu năm 1908 và đầu năm 1995

b) Xem f là một hàm số xác định trên nửa khoảng \(\left[ {0; + \infty } \right)\). Tính f’(t) và xét chiều biến thiến của h trên nửa khoảng \(\left[ {0; + \infty } \right)\)

c) Đạo hàm của hàm số f biểu thị tốc độ tăng dần của thị trấn (tính bằng nghìn người/năm)

• Tính tốc độ tăng dân số vào năm 1990 và năm 2008 của thị trấn.
• Vào năm nào thì tốc độ tăng dần số là 0,125 nghìn /người?

Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) \(f(x) = \frac{1}{3}{x^3} + 2{x^2} + 3x - 1\)

b) \(f(x) = \frac{1}{3}{x^3} - {x^2} + 2x - 10\)

c) \(f(x) = x + \frac{1}{x}\)

d) \(f(x) = |x|(x + 2)\)

e) \(f(x) = \frac{{{x^5}}}{5} - \frac{{{x^3}}}{3} + 2\)

f) \(f(x) = \frac{{{x^2} - 3x + 3}}{{x - 1}}\)

Tìm cực trị của các hàm số sau:

\(\begin{array}{l}
a)  y = x\sqrt {4 - {x^2}} \\
b)  y = \sqrt {8 - {x^2}} \\
c)  y = x - \sin 2x + 2\\
d)  y = 3 - 2\cos x - \cos 2x
\end{array}\)

Tìm các hệ số a, b, c, d của hàm số \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) sao cho hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x = 0, f(0) = 0 và đạt cực đại tại điểm x = 1, f(1) = 1

Xác định các hệ số a, b, c sao cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} + bx + c\) đạt cực trị bằng 0 tại điểm x = − 2 và đồ thị của hàm số đi qua điểm A(1;0)

Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, hàm số \(y = \frac{{{x^2} - m\left( {m + 1} \right)x + {m^3} + 1}}{{x - m}}\) luôn có cực đại và cực tiểu

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: \(f\left( x \right) = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x\)

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) \(f\left( x \right) = {x^2} + 2x - 5\) trên đoạn [-2; 3]

b) \(f\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} + 2{x^2} + 3x - 4\) trên đoạn [-4; 0]

c) \(f\left( x \right) = x + \frac{1}{x}\) trên đoạn \(\left( {0; + \infty } \right)\)

d) \(f\left( x \right) =  - {x^2} + 2x + 4\) trên đoạn [2; 4]

e) \(f\left( x \right) = \frac{{2{x^2} + 5x + 4}}{{x + 2}}\) trên đoạn [0; 1]

f) \(f\left( x \right) = x - \frac{1}{x}\) trên đoạn (0; 2]

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) y = 2sin²x + 2sinx - 1

b) y = cos²2x - sinx.cosx + 4

Cho một tam giác đều ABC cạnh a. Người ta dựng một hình chữ nhật MNPQ có cạnh MN nằm trên cạnh BC, hai đỉnh P và Q theo thứ tự nằm trên hai cạnh AC và AB của tam giác. Xác định vị trí của điểm M sao cho hình chữ nhật có diện tích lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó.

Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ, một nhà sinh vật học thấy rằng: Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng: P(n) = 480 - 20n²

Hỏi phải thả bao nhiêu cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất.

Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) \(f\left( x \right) = \frac{x}{{{x^2} + 1}}\)

b) \(f\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{{{x^2} + 1}}\)

c) \(f\left( x \right) = \sqrt {5 - {x^2}} \)

d) \(f\left( x \right) = x + \sqrt {{x^2} - 1} \)

Tìm giá trị của m để hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + mx - 1}}{{x - 1}}\) có cực đại và cực tiểu.

Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức: \(G\left( x \right) = 0,025{x^2}\left( {30 - x} \right)\), trong đó x là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân ( x được tính bằng miligam). Tính liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất và tính độ giảm đó.

Cho parabol (P): y = x² và điểm A(-3; 0). Xác định điểm M thuộc parabol (P) sao cho khoảng cách AM là ngắn nhất và tìm khoảng cách ngắn nhất đó.

Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt một khoảng cách là 300km. Vận tốc dòng nước là 6km/h. Nếu vận tốc bơi của con cá khi nước đứng yên là v(km/h) thì năng lượng tiêu hao của con cá trong t giờ được cho bởi công thức E(v) = cv³t, trong đó cc là một hằng số, E được tính bằng jun. Tìm vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên để năng lượng tiêu hao là ít nhất.

Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ t là \(f\left( t \right) = 45{t^2} - {t^3},t = 0,1,2,...,25\)

Nếu coi f là hàm số xác định trên đoạn [0; 25] thì f′(t) được xem là tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tại thời điểm t.

a) Tính tốc độ truyền bệnh vào ngày thứ 5

b) Xác định ngày mà tốc độ truyền bệnh là lớn nhất và tính tốc độ đó

c) Xác định các ngày mà tốc độ truyền bệnh lớn hơn 600

d) Xét chiều biến thiên của hàm số f trên đoạn [0; 25]

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) \(f\left( x \right) = \sqrt {3 - 2x} \) trên đoạn [-3; -1]

b) \(f\left( x \right) = x + \sqrt {4 - {x^2}} \)

c) \(f\left( x \right) = {\sin ^4}x + {\cos ^2}x + 2\)

d) f(x) = x - sin2x trên đoạn \(\left[ { - \frac{\pi }{2};\pi } \right]\)

Trong các hình chữ nhật có chu vi là 40cm, hãy xác định hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.

Xác định đỉnh I của mỗi parabol (P) sau đây. Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OI} \) và viết phương trình của parabol (P) đối với hệ tọa độ IXY

a) \(y = 2{x^2} - 3x + 1\) 

b) \(y = \frac{1}{2}{x^2} - x - 3\)

c) \(y = x - 4{x^2}\)

d) \(y = 2{x^2} - 5\)

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 1\)
a) Xác định điểm I thuộc đồ thị (C) của hàm số đã cho biết rằng hoành độ của điểm I I  là nghiệm của phương trình f′′(x) = 0.
b) Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép định tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OI} \) và viết phương trình của đường cong (C) đối với hệ tọa độ IXY. Từ đó suy ra rằng  I  là tâm đối xứng của đường cong (C)
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong (C) tại điểm  I  đối với hệ tọa độ Oxy. Chứng minh rằng trên khoảng \(( - \infty ;1)\) đường cong (C) nằm phía dưới tiếp tuyến tại I của (C) và trên khoảng \((1; + \infty )\) đường cong (C) nằm phía trên tiếp tuyến đó.

Cho đường cong (C) có phương trình là \(y = 2 - \frac{1}{{x + 2}}\) và điểm I(−2;2) . Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OI} \) và viết phương trình của đường cong (C) đối với hệ tọa độ IXY. Từ đó suy ra I là tâm đối xứng của (C).

Xác định tâm đối xứng của đồ thị mỗi hàm số sau đây:

a) \(y = \frac{2}{{x - 1}} + 1\)

b) \(y = \frac{{3x - 2}}{{x + 1}}\)

Cho đường cong (C) có phương trình \(y = ax + b + \frac{c}{{x - x{o_o}}}\), trong đó a ≠ 0, c ≠ 0 và điểm \(I\left( {{x_o};{y_o}} \right)\) thỏa mãn: \({y_o} = a{x_o} + b\) . Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OI} \) và phương trình của (C) đối với hệ tọa độ IXY. Từ đó suy ra rằng II là tâm đối xứng của đường cong (C).

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} - 4\)

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn.

c) Chứng minh rằng điểm uốn là tâm đối xứng của đồ thị.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y = - x³ +3x² - 1

b) Tùy theo các giá trị của m, hãy biện luận số nghiệm của phương trình: - x³ +3x² - 1 = m

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) \(y = \frac{1}{3}{x^3} - {x^2} - 3x - \frac{5}{3}\)

b) \(y = {x^3} - 3x + 1\)

c) \(y =  - \frac{1}{3}{x^3} + {x^2} - 2x - \frac{2}{3}\)

d) \(y = {x^3} - 3{x^2} + 3x + 1\)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y = −x⁴ + 2x² − 2
b) Tùy theo các giá trị của m, hãy biện luận số nghiệm của phương trình −x⁴ + 2x² − 2= m
c) Viết phương trình tiếp tuyến tại các điểm uốn của đồ thị ở câu a)

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau:

a) y = x⁴ - 3x² + 2

b) y = - x⁴ - 2x² + 1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = x³ - 3x² + 1

b) Tùy theo các giá trị của mm, hãy biện luận số nghiệm của phương trình: x³ - 3x² + m + 2 = 0

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số : \(y = \frac{{x - 2}}{{2x + 1}}\)

b) Chứng minh rằng giao điểm I của hai đường tiệm cận của đồ thị là tâm đối xứng của đồ thị.

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau:

a) \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\)

b) \(y = \frac{{2x + 1}}{{1 - 3x}}\)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: \(y = \frac{{2{x^2} + 5x + 4}}{{x + 2}}\)

b) Chứng minh rằng giao điểm  của đường tiệm cận của đồ thị là tâm đối xứng của đồ thị.

c) Tùy theo các giá trị của m, hãy biện luận số nghiệm của phương trình: \(\frac{{2{x^2} + 5x + 4}}{{x + 2}} + m = 0\)

Cho hàm số y = (x + 1)(x² +2mx + m + 2)

a) Tìm các giá trị của mm để đồ thị của hàm số đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m = −1

Cho hàm số \(y = {x^4} - \left( {m + 1} \right){x^2} + m\)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 2.

b) Chứng minh rằng đồ thị hàm số đã cho luôn đi qua hai điểm cố định với mọi giá trị của m

Cho hàm số \(y = {x^4} - 2m{x^2} + 2m\)

a) Tìm các giá trị của m sao cho hàm số có ba cực trị.
b) Kháo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m = 1/2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại hai điểm 

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: 

a) \(y = \frac{{{x^2} - 3x + 6}}{{x - 1}}\)

b) \(y = \frac{{{2x^2} - x + 1}}{{1 - x}}\)

c) \(y = \frac{{{2x^2} + 3x - 3}}{{x + 2}}\)

d) \(y =  - x + 2 + \frac{1}{{x - 1}}\)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 2}}\)

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại giao điểm A của đồ thị với trục tung.

c) Viết phương trinh tiếp tuyến của đồ thị song song với tiếp tuyến tại điểm A

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số \(y = 1 - \frac{1}{{x + 1}}\)

b) Từ đồ thị (H) suy ra cách vẽ đồ thị của hàm số \(y = 1 + \frac{1}{{x + 1}}\)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = x + \frac{2}{{x - 1}}\)

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm (3; 3)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số \(y = \frac{{{x^2}}}{{x + 1}}\)

b) Từ đồ thị (C) suy ra cách vẽ đồ thị của hàm số \(y = \frac{{{x^2}}}{{|x + 1|}}\)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C) của hàm số: f(x) = 2x³ + 3x² + 1

b) Tìm các giao điểm của đường cong (C) và parabol: (P): g(x) = 2x² + 1

c) Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) và (P) tại mỗi giao điểm của chúng.

d) Xác định các khoảng trên đó (C) nằm phía trên hoặc phía dưới (C)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\)

b) Với các giá nào của m, đường thẳng (d_m) đi qua điểm A(−2;2) và có hệ số góc m cắt đồ thị của hàm số đã cho:

• Tại hai điểm phân biệt?
• Tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị?

Chứng minh rằng các đồ thị của ba hàm số: f(x)=−x²+3x+6; g(x)=x³−x²+4 và h(x)=x²+7x+8 tiếp xúc với nhau tại điểm A(−1;2) (tức là chúng có cùng tiếp tuyến tại A)

Chứng minh rằng các đồ thị của hai hàm số: \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{3}{2}x\) và \(g\left( x \right) = \frac{{3x}}{{x + 2}}\) tiếp xúc với nhau. Xác định tiếp điểm của hai đường cong trên và viết phương trình tiếp tuyến chung tại điểm đó.

Một viên đạn được bắn ra với vận tốc ban đầu v₀ > 0 từ một nòng súng đặt ở gốc tọa độ O, nghiêng một góc α với mặt đất (nòng súng nằm trong mặt phẳng thẳng đứng Oxy và tạo với trục hoành Ox góc α ). Biết quỹ đạo chuyển động của viên đạn là parabol.

\(\left( {{\gamma _\alpha }} \right):y =  - \frac{g}{{2v_o^2}}\left( {1 + {{\tan }^2}\alpha } \right){x^2} + x\tan \alpha \) 

(g là gia tốc trọng trường).

Chứng minh rằng với mọi \(\alpha  \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right),({\gamma _\alpha })\)  luôn tiếp xúc với parabol (P) có phương trình là: \(y =  - \frac{g}{{2v_o^2}}{x^2} + \frac{{v_o^2}}{{2g}}\) và tìm tọa độ tiếp điểm (P) được gọi là parabol an toàn).

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: \(y = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}\)

b) Chứng minh rằng giao điểm I của hai đường tiệm cận của đường cong đã cho là tâm đối xứng của nó

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số: \(y = \frac{{x + 2}}{{2x + 1}}\)

b) Chứng minh rằng đường thẳng y = mx + m − 1 luôn đi qua một điểm cố định của đường cong (H) khi m biến thiên.

c) Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng đã cho cắt đường cong (H) tại hai điểm thuộc cùng một nhánh của (H).

Cho hàm số \(y = \frac{{a{x^2} - bx}}{{x - 1}}\)

a) Tìm a và b biết rằng đồ thị (C) của hàm số đã cho đi qua điểm \(A\left( { - 1;\frac{5}{2}} \right)\) và tiếp tuyến của (C) tại điểm O(0;0) có hệ số bằng −3.

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với các giá trị của a và b đã tìm được.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: \(y = \frac{{2{x^2} - x + 1}}{{x - 1}}\)

b) Với các giá trị nào của m thì đường thẳng y = m–x cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt?

c) Gọi A và B là hai giao điểm đó. Tìm tập hợp các trung điểm của đoạn thẳng AB khi m biến thiên.

Tìm các hệ số a,ba,b sao cho parabol y = 2x² + ax + b tiếp xúc với hypebol y = 1/x tại điểm M(1/2;2)

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

\(\begin{array}{l}
a)\tan x > x,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\\
b)\tan x > x + \frac{{{x^3}}}{3},\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)
\end{array}\)

Xét chiều biến thiên và tìm cực trị (nếu có) của các hàm số sau:

\(\begin{array}{l}
a)y = \sqrt {3x + 1} \\
b)y = \sqrt {4x - {x^2}} \\
c)y = x + \sqrt x \\
d)y = x - \sqrt x 
\end{array}\)

Người ta định làm một cái hộp hình trụ bằng tôn có thể tích V cho trước. Tìm bán kính đáy r và chiều cao của hình trụ sao cho tốn ít nguyên liệu nhất.

Chu vi của một tam giác là 16cm, độ dài một cạnh tam giác là 6cm. Tìm độ dài hai cạnh còn lại của tam giác sao cho tam giác có diện tích lớn nhất.

Hướng dẫn: Có thể áp dụng công thức Hê-rông để tính diện tích tam giác: Nếu tam giác ABC có độ dài các cạnh là a, b, c thì diện tích của nó là: \(S = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} \)  (p là nửa chu vi của tam giác.)

Cho hàm số: \(f\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + \frac{{17}}{3}\)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.

b) Chứng minh rằng phương trình f(x) = 0 có ba nghiệm phân biệt.

Cho hàm số f(x) = x³ + px + q

a) Tìm điều kiện đối với p và q để hàm số f có một cực đại và một cực tiểu.

b) Chứng minh rằng nếu giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu thì phương trình: x³ + px + q = 0 (1) có ba nghiệm phân biệt.

c) Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt là: 4p³ + 27q² < 0

Cho hàm số: f(x) = x³ − 3x + 1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn U của nó.

c) Gọi (d_m) là đường thẳng đi qua điểm U và có hệ số góc m. Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng (d_m) cắt đồ thị của hàm số đã cho tại ba điểm phân biệt.

Cho hàm số: \(y = {x^4} - (m + 1){x^2} + m\)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m = 2.

b) Tìm các giá trị của m sao cho đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm, tạo thành ba đoạn thẳng có độ dài bằng nhau.

Cho hàm số f(x) = x⁴ − x²

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho.

b) Từ đồ thị của hàm số y = f(x) suy ra cách vẽ đồ thị của hàm số y=|f(x)|

Cho hàm số: \(y = \frac{{x - 4m}}{{2(mx - 1)}}\).(Hm)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m =1.

b) Chứng minh rằng với mọi \(m \ne  \pm \frac{1}{2}\), các đường cong (Hm) đều đi qua hai điểm cố định A và B.

c) Chứng minh rằng tích các hệ số góc của tiếp tuyến với (H_m) tại hai điểm A và B là một hằng số khi m biến thiên.

a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số y = x² − x + 1 và đồ thị (H) của hàm số \(y = \frac{1}{{x + 1}}\)

b) Tìm giao điểm của hai đường cong (P) và (H). Chứng minh rằng hia đường cong đó có tiếp tuyến chung tại giao điểm của chúng.

c) Xác định các khoảng trên đó (P) nằm phía trên hoặc phía dưới (H).

Cho hàm số: \(y = f\left( x \right) = x + \frac{1}{x}\)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

b) Tiếp tuyến của đường cong (C) tại điểm \(M\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) cắt tiệm cận đứng và tiệm cận xiên tại hai điểm A và B. Chứng minh rằng M là trung điểm của đoạn thẳng AB và tam giác OAB có diện tích không phụ thuộc vào vị trí điểm M trên đường cong (C).

Hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^2}}}{2} - 6x + \frac{3}{4}\)

(A) Đồng biến trên khoảng (−2;3)

(B) Nghịch biến trên khoảng (−2;3)

(C) Nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\)

(D) Đồng biến trên khoảng \(\left( { - 2; + \infty } \right)\)

Hàm số \(f\left( x \right) = 6{x^5} - 15{x^4} + 10{x^3} - 22\)

(A) Nghịch biến trên R;

(B) Đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\);

(C) Đồng biến trên khoảng R;

(D) Nghịch biến trên khoảng (0;1).

Hàm số \(y = \sin x - x\)

(A) Đồng biến trên R.

(B) Đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\)

(C) Nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)

(D) Nghịch biến trên R.

Hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 11\)

(A) Nhận điểm x = -1 làm điểm cực tiểu;

(B) Nhận điểm x = 3 làm điểm cực đại;

(C) Nhận điểm x = 1 làm điểm cực đại;

(D) Nhận điểm x = 3 làm điểm cực tiểu.

Hàm số \(y = {x^4} - 4{x^3} - 5\)

(A) Nhận điểm x = 3 làm điểm cực tiểu.

(B) Nhận điểm x = 0 làm điểm cực đại

(C) Nhận điểm x = 3 làm điểm cực đại

(D) Nhận điểm x = 0 làm điểm cực tiểu.

Số điểm cực trị của hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2} - 3\) là 

(A) 0              

(B) 1         

(C) 3             

(D) 2

Số điểm cực trị của hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 3x + 6}}{{x - 1}}\) là 

(A) 0 

(B) 2

(C) 1           

(D) 3

Hàm số f có đạo hàm là \(f'\left( x \right) = {x^2}{\left( {x + 1} \right)^2}\left( {2x - 1} \right)\).

Số điểm cực trị của hàm số là:

(A) 1

(B) 2

(C) 0

(D) 3

Hàm số \(y = x - \sin 2x + 3\)

(A) Nhận điểm \(x =  - \frac{\pi }{6}\) làm điểm cực tiểu.

(B) Nhận điểm (x =  \frac{\pi }{2}\)$\frac{\mathrm{}}{}$ làm điểm cực đại.

(C) Nhận điểm \(x =  - \frac{\pi }{6}\) làm điểm cực đại.

(D) Nhận điểm \(x =  - \frac{\pi }{2}\) làm điểm cực tiểu.

Giá trị lớn nhất của hàm số \(y =  - 3\sqrt {1 - x} \) là: 

A. - 3

B. 1

C. - 1

D. 0

Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 3\sin x - 4\cos x\) là:

(A) 3

(B) - 5

(C) - 4

(D) - 3.

Giá trị lớn nhất của hàm số 

\(f\left( x \right) = 2{x^3} + 3{x^2} - 12x + 2\) 

trên đoạn [−1;2] là:

(A) 6

(B) 10

(C) 15

(D) 11.

Giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt { - {x^2} - 2x + 3} \) là:

(A) 2

(B) \(\sqrt 2 \)

(C) 0

(D) 3.

Gọi (C) là đồ thị của hàm số \(y = \frac{{2{x^2} - 3x + 4}}{{2x + 1}}\)

(A) Đường thẳng x = -1 là tiệm cận đứng của (C).

(B) Đường thẳng x = 2x - 1 là tiệm cận đứng của (C).

(C) Đường thẳng x = x + 1 là tiệm cận đứng của (C).

(D) Đường thẳng x = x - 2 là tiệm cận đứng của (C).

Gọi (C) là đồ thị của hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 3}}{{3 + 5x - 2{x^2}}}\)

(A) Đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị (C).

(B) Đường thẳng \(x =  - \frac{1}{2}\) là tiệm cận đứng của đồ thị (C).

(C) Đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị (C).

(D) Đường thẳng x = -x +1 là tiệm cận xiên của đồ thị (C).

Gọi (C) là đồ thị của hàm số \(y = \frac{{{x^2} + x + 2}}{{ - 5{x^2} - 2x + 3}}\)

(A) Đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của (C).

(B) Đường thẳng y = x - 1 là tiệm cận xiên của (C).

(C) Đường thẳng \(y =  - \frac{1}{5}\) là tiệm cận ngang của (C).

(D) Đường thẳng \(y =  - \frac{1}{2}\) là tiệm cận ngang của (C).

Đồ thị của hàm số \(y = x + \frac{1}{{x - 1}}\)

(A) cắt đường thẳng y = 1 tại hai điểm;

(B) cắt đường thẳng y = 4 tại hai điểm;

(C) Tiếp xúc với đường thẳng y = 0.

(D) Không cắt đường thẳng y = - 2.

Xét phương trình \({x^3} + 3{x^2} = m\)

(A) Với m = 5, phương trình đã có ba nghiệm;

(B) Với m = -1, phương trình có hai nghiệm.

(C) Với m = 4, phương trình đã có ba nghiệm phân biệt;

(D) Với m = 2, phương trình đã có ba nghiệm phân biệt.

Đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 2}}{{2x + 1}}\)

(A) Nhận điểm \(\left( { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\) làm tâm đối xứng.

(B) Nhận điểm \(\left( { - \frac{1}{2};2} \right)\) làm tâm đối xứng.

(C) Không có tâm đối xứng.

(D) Nhận điểm \(\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\) làm tâm đối xứng.

Số giao điểm của hai đường cong \(y = {x^3} - {x^2} - 2x + 3\) và \(y = {x^2} - x + 1\) là:

(A) 0

(B) 1

(C) 3

(D) 2.

Xem thêm tại: https://loigiaihay.com/bai-tap-trac-nghiem-khach-quan-c201a29245.html#ixzz65KrfhdtL

Các đồ thị của hai hàm số \(y = 3 - \frac{1}{x}\) và \(y = 4{x^2}\) tiếp xúc với nhau tại điểm M có hoành độ là:

(A) x = -1

(B) x = 1

(C) x = 2

(D) \(x = \frac{1}{2}\)