Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a có góc \(\widehat{BAD}=60^0\) và \(SA=SB=SD=\frac{a\sqrt{3}}{2}\).
a) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD) và độ dài cạnh SC.
b) Chứng minh mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
c) Chứng minh SB vuông góc với SC.
d) Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD). Tính tan φ.
Câu a:
Vì hình thoi ABCD có góc \(BAD=60^0\)
\(\Rightarrow \Delta ABD\) là tam giác đều.
Gọi H là tâm của \(\Delta ABD\)
Theo giả thiết \(SA=SB=SD\)
\(\Rightarrow SH\perp (ABD)\)
\(\Rightarrow SH=d(S,(ABCD))\)
Trong tam giác đều ABD cạnh a có \(AH=\frac{a\sqrt{3}}{3}\)
Trong tam giác vuông SHA có: \(SH^2=SA^2-AH^2\)
\(\Rightarrow SH^2=\frac{3a^2}{4}-\frac{3a^2}{9}= \frac{5a^2}{12} \Rightarrow SH=\frac{a\sqrt{15}}{6}\)
Gọi O là giao điểm của AC và BD \(\Rightarrow OC=OA=\frac{3}{2}AH=\frac{a\sqrt{3}}{3}\)
Và \(OH=\frac{1}{2}AH=\frac{a\sqrt{3}}{6}\Rightarrow HC=HO+OC\)
\(=\frac{a\sqrt{3}}{6}+\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{2a\sqrt{3}}{3}\)
Trong tam giác vuông HSC có:
\(SC^2=SH^2+HC^2=\frac{15a^2}{36}+\frac{12a^2}{9}=\frac{7a^2}{4}\)
Vậy \(SC=\frac{a\sqrt{7}}{2}.\)
Câu b:
Theo chứng minh ở câu a) \(SH\perp (ABCD)\) mà \(SH\subset (SAC)\)
Vậy \((SAC)\perp (ABCD)\) (đpcm)
Câu c:
Trong tam giác SBC có: \(SB^2=\frac{3a^2}{4}; BC^2=a^2; SC^2=\frac{7a^2}{4}\)
\(\Rightarrow SC^2=SB^2+BC^2\Rightarrow\) tam giác SBC vuông tại B hay \(SB\perp BC\) (đpcm)
Câu d:
Vì ABCD là hình thoi \(\Rightarrow AC\perp BD \ (1)\)
Mặt khác \(\Delta SBD\) cân đỉnh S có O là trung điểm \(BD \Rightarrow SO \perp BD \ (2)\)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow BD \perp (SAO)\)
BD là giao tuyến của mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng (ABCD)
Suy ra \(\varphi =SOA=SOH\)
Trong tam giác vuông SOH ta có: \(tan\varphi =\frac{SH}{OH}=\frac{\frac{a\sqrt{15}}{6}}{\frac{a\sqrt{3}}{6}}= \sqrt{5}\).
-- Mod Toán 11
Toán học là ngành nghiên cứu trừu tượng về những chủ đề như: lượng (các con số), cấu trúc, không gian, và sự thay đổi.Các nhà toán học và triết học có nhiều quan điểm khác nhau về định nghĩa và phạm vi của toán học
Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thưLớp 11 - Năm thứ hai ở cấp trung học phổ thông, gần đến năm cuối cấp nên học tập là nhiệm vụ quan trọng nhất. Nghe nhiều đến định hướng sau này rồi học đại học. Ôi nhiều lúc thật là sợ, hoang mang nhưng các em hãy tự tin và tìm dần điều mà mình muốn là trong tương lai nhé!
Nguồn : ADMIN :))Copyright © 2021 HOCTAPSGK