Bài tập 17 trang 103 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 17 trang 103 SGK Hình học 11 NC
Cho hình tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc.
a. Chứng minh tam giác ABC có ba góc nhọn.
b. Chứng minh rằng hình chiếu H của điểm O trên mp(ABC) trùng với trực tâm tam giác ABC.
c. Chứng minh rằng \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}\)
Đặt a = OA, b = OB, c = OC. Ta có:
\(\begin{array}{l}
AB = \sqrt {{a^2} + {b^2}} ,\\
BC = \sqrt {{b^2} + {c^2}} ,\\
AC = \sqrt {{a^2} + {c^2}}
\end{array}\)
Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có :
\(\begin{array}{l}
\cos A = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{AB.AC}}\\
= \frac{{{a^2} + {b^2} + {a^2} + {c^2} - {b^2} - {c^2}}}{{AB.AC}}\\
= \frac{{2{a^2}}}{{AB.AC}} > 0
\end{array}\)
⇒ A nhọn. Tương tự B, C là các góc nhọn.
Vậy ΔABC có ba góc nhọn.
b)
Vì H là hình chiếu của điểm O trên mp(ABC)
nên OH ⊥ (ABC)
Mặt khác OA ⊥ (OBC) nên OA ⊥ BC.
Vậy AH ⊥ BC (định lí ba đường vuông góc), tức
là H thuộc một đường cao của tam giác ABC
Tương tự như trên ta cũng có H thuộc đường cao
thứ hai của tam giác ABC.
Vậy H là trực tâm tam giác ABC
c) Nếu AH ⊥ BC tại A’ thì BC ⊥ OA’.
Vì OH là đường cao của tam giác vuông AOA’ (vuông tại O) và OA’ là đường cao của tam giác vuông BOC (vuông tại O) nên :
\(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{OA{\prime ^2}}},\)
\(\frac{1}{{OA{\prime ^2}}} = \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}\)
Vậy \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}\)
-- Mod Toán 11
Bạn có biết?
Toán học là ngành nghiên cứu trừu tượng về những chủ đề như: lượng (các con số), cấu trúc, không gian, và sự thay đổi.Các nhà toán học và triết học có nhiều quan điểm khác nhau về định nghĩa và phạm vi của toán học
Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thưTâm sự Lớp 11
Lớp 11 - Năm thứ hai ở cấp trung học phổ thông, gần đến năm cuối cấp nên học tập là nhiệm vụ quan trọng nhất. Nghe nhiều đến định hướng sau này rồi học đại học. Ôi nhiều lúc thật là sợ, hoang mang nhưng các em hãy tự tin và tìm dần điều mà mình muốn là trong tương lai nhé!
Nguồn : ADMIN :))Copyright © 2021 HOCTAPSGK
