Bài tập 8 trang 126 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 8 trang 126 SGK Hình học 11 NC
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng \(a\sqrt 2 .\)
a. Tính khoảng cách từ S đến mp(ABCD).
b. Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và mp(SCD)
c. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC.
d. Gọi P là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SC. Hãy xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi (P). Tính diện tích thiết diện.
e. Tính góc giữa đường thẳng AB và mp(P).
Gọi H là giao điểm của AC và BD. Do S.ABCD là hình chóp đều nên SH vuông góc với mặt đáy (ABCD).
a. Khoảng cách từ S đến mp(ABCD) là SH.
SAC là tam giác đều cạnh \(a\sqrt 2 \)
Nên \(SH = a\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\)
b. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD.
Ta có: d(AB ; (SCD)) = d(E; (SCD)) = EK
(EK là đường cao của tam giác SEF).
\(\begin{array}{l}
EK = \frac{{EF.SH}}{{SF}} = \frac{{a.\frac{{a\sqrt 6 }}{2}}}{{\sqrt {\frac{{6{a^2}}}{4} + \frac{{{a^2}}}{4}} }}\\
= \frac{{a\sqrt 6 }}{{\sqrt 7 }} = \frac{{a\sqrt {42} }}{7}
\end{array}\)
c. Vì AB và SC chéo nhau, AB // mp(SCD) nên d(AB ; SC) = d(AB ; (SCD)) = \(\frac{{a\sqrt {42} }}{7}\)
d.
Gọi C1 là trung điểm của SC, do SAC là tam giác đều nên AC1 ⊥ SC. Mặt khác, BD ⊥ SC, nên (P) chính là mặt phẳng chứa AC1 và song song với BD. Kí hiệu H1 là giao điểm của AC1 và SH. Khi đó (P) ∩ (SBD) = B1D1, trong đó B1D1 đi qua H1 và song song với BD. Vậy thiết diện của S.ABCD cắt bởi (P) là tứ giác AB1C1D1.
Ta có: BD ⊥ (SAC), B1D1 // BD
Nên B1D1 ⊥ (SAC), suy ra B1D1 ⊥ AC1.
Từ đó \({S_{A{B_1}{C_1}{D_1}}} = \frac{1}{2}A{C_1}.{B_1}{D_1}\)
\(A{C_1} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2},{B_1}{D_1} = \frac{2}{3}BD\)
(vì H1 là trọng tâm tam giác SAC)
Vì vậy \({S_{A{B_1}{C_1}{D_1}}} = \frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt 6 }}{2}.\frac{2}{3}a\sqrt 2 = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{3}\)
e. Trong mp(SAC), kẻ HI song song với CC1 cắt AC1 tại I thì HI ⊥ (P) vì SC ⊥ (P).
Ta lấy điểm J sao cho BHIJ là hình bình hành thì BJ ⊥ (P), từ đó \(\widehat {BAJ}\) là góc giữa BA và mp(P).
\(\begin{array}{l}
\sin \widehat {BAJ} = \frac{{BJ}}{{BA}} = \frac{{HI}}{{BA}} = \frac{{\frac{1}{2}C{C_1}}}{{BA}}\\
= \frac{{\frac{1}{4}SC}}{{BA}} = \frac{{\frac{1}{4}a\sqrt 2 }}{a} = \frac{{\sqrt 2 }}{4}
\end{array}\)
Vậy góc giữa BA và mp(P) là α
Mà \(\sin \alpha = \frac{{\sqrt 2 }}{4},{0^ \circ } < \alpha < {90^ \circ }.\)
-- Mod Toán 11
Bạn có biết?
Toán học là ngành nghiên cứu trừu tượng về những chủ đề như: lượng (các con số), cấu trúc, không gian, và sự thay đổi.Các nhà toán học và triết học có nhiều quan điểm khác nhau về định nghĩa và phạm vi của toán học
Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thưTâm sự Lớp 11
Lớp 11 - Năm thứ hai ở cấp trung học phổ thông, gần đến năm cuối cấp nên học tập là nhiệm vụ quan trọng nhất. Nghe nhiều đến định hướng sau này rồi học đại học. Ôi nhiều lúc thật là sợ, hoang mang nhưng các em hãy tự tin và tìm dần điều mà mình muốn là trong tương lai nhé!
Nguồn : ADMIN :))Copyright © 2021 HOCTAPSGK