Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = a, BC = 2a. Hai tia Bx và Cy cùng vuông góc với mp(ABC) và nằm về một phía đối với mặt phẳng đó. Trên Bx, Cy lần lượt lấy các điểm B’, C’ sao cho BB’ = a, CC’ = m.

a. Với giá trị nào của m thì AB’C’ là tam giác vuông ?

b. Khi tam giác AB’C’ vuông tại B’, kẻ AH ⊥ BC. Chứng minh rằng B’C’H là tam giác vuông. Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB’C’).

Ta có:

$\begin{array}{l}
A{C^2} = 3{a^2},AB{'^2} = 2{a^2}\\
AC{'^2} = 3{a^2} + {m^2},
\end{array}$

$B'C'^2= 4{a^2} + {\left( {m - a} \right)^2}$

a. Tam giác AB’C’ vuông ở A khi và chỉ khi :

$5{a^2} + {m^2} - 2ma = 2{a^2} + 3{a^2} + {m^2}$

Vậy tam giác AB’C’ vuông ở A khi và chỉ khi m = 0

Vậy tam giác AB’C’ vuông ở C’ khi và chỉ khi :

$2{a^2} = 3{a^2} + {m^2} + 4{a^2} + {\left( {m - a} \right)^2}$

(điều này không xảy ra)

Tam giác AB’C’ vuông ở B’ khi và chỉ khi :

$\begin{array}{l}
2{a^2} + 4{a^2} + {\left( {m - a} \right)^2} = 3{a^2} + {m^2}\\
\Leftrightarrow m = 2a
\end{array}$

Vậy tam giác AB’C’ vuông ở B’ khi và chỉ khi m = 2a

b. Giả sử tam giác AB’C’ vuông ở B’, tức là m = 2a

Vì AH ⊥ BC nên ${a^2} \Rightarrow BH = \frac{a}{2}$

Từ đó $HC = \frac{{3a}}{2}$

Và $B'{H^2} = {a^2} + \frac{{{a^2}}}{4} = \frac{{5{a^2}}}{4}$

$C'{H^2} = \frac{{9{a^2}}}{4} + 4{a^2} = \frac{{25{a^2}}}{4};B'{C^{\prime 2}} = 5{a^2}$

Như vậy : $$B'{H^2} + B'{C^{\prime 2}} = C'{H^2}$$ ,

tức là tam giác B’C’H vuông tại B’

Tính góc giữa mp(ABC) và mp(AB’C’) khi m = 2a.

Gọi I là giao điểm của B’C’ và BC. Do BB’ // CC’ , BB’ = a, CC’ = 2a nên BC = BI, B’C’ = B’I.

Xét phép chiếu lên mp(ABC). Ta có tam giác AIC là hình chiếu của tam giác AIC’. Gọi φ là góc giữa mp(ABC) và mp(AB’C’) thì ${S_{AIC}} = {S_{AIC'}}\cos \varphi $

Ta có: ${S_{AIC}} = 2{S_{ABC}} = {a^2}\sqrt 3 $

Mặt khác :

$\begin{array}{l}
{S_{AIC'}} = \frac{1}{2}IC'.AB'\\
= \frac{1}{2}.2a\sqrt 5 .a\sqrt 2 = {a^2}\sqrt {10}
\end{array}$

Từ đó : $\cos \varphi = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{{a^2}\sqrt {10} }} = \frac{{\sqrt {30} }}{{10}}$

Vậy góc giữa mp(ABC) và mp(AB’C’) là φ được tính bởi

$$\cos \varphi = \frac{{\sqrt {30} }}{{10}},{0^ \circ } < \varphi < {90^ \circ }$$

-- Mod Toán 11

Bạn có biết?

Toán học là ngành nghiên cứu trừu tượng về những chủ đề như: lượng (các con số), cấu trúc, không gian, và sự thay đổi.Các nhà toán học và triết học có nhiều quan điểm khác nhau về định nghĩa và phạm vi của toán học

Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thư

Tâm sự Lớp 11

Lớp 11 - Năm thứ hai ở cấp trung học phổ thông, gần đến năm cuối cấp nên học tập là nhiệm vụ quan trọng nhất. Nghe nhiều đến định hướng sau này rồi học đại học. Ôi nhiều lúc thật là sợ, hoang mang nhưng các em hãy tự tin và tìm dần điều mà mình muốn là trong tương lai nhé!

Nguồn : ADMIN :))

Tiểu học Lớp 6 Lớp 7 Lớp 8 Lớp 9 Lớp 10 Lớp 11 Lớp 12 Hóa học Tài liệu Đề thi & kiểm tra Câu hỏi Đọc truyện chữ Nghe truyện audio Công thức nấu ăn Hỏi nhanh

Liên hệ hợp tác hoặc quảng cáo: gmail

Điều khoản dịch vụ