Bài tập 8 trang 26 SGK Hình học 12
Bài tập 8 trang 26 SGK Hình học 12
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. SA vuông góc với đáy và AB=a, AD=b, SA=c. Lấy các điểm B', D' theo thứ tự thuộc SB, SD sao cho \(AB'\perp SB, AD'\perp SD\). Mặt phẳng (AB'D') cắt SC tại C'. Tính thể tích khối chóp S.AB'C'D'.
Dựng điểm C' như hình vẽ.
Ta có: \(BC\perp AB\) (giả thiết) (1)
Mặt khác: \(SA\perp (ABCD)\) nên \(SA\perp BC\) (2)
Từ (1) và (2) ta có: \(BC\perp (SAB)\)
\(\Rightarrow BC\perp AB'\) (3)
Ta có: \(AB'\perp SB\) (giả thiết) (4)
Từ (3) và (4) suy ra suy ra \(AB'\perp (SBC)\)
Hay ta có được \(AB'\perp BC'\)
\(\Leftrightarrow \Delta AB'C'\) vuông tại B'
Hoàn toàn tương tự ta cũng có \(\Delta AD'C'\) vuông tại D'
Ta có: \(AB'\perp SC;AD'\perp SC\)
(vì \(AB'\perp (SBC), AD'\perp (SDC)\))
Nên \(SC\perp (AB'C'D')\). Vì vậy:
\(V_{S.AB'C'D'}=\frac{1}{3}.S_{AB'C'D'}.SC'\)
\(=\frac{1}{3} \left [ S_{\Delta AB'C'}+S_{\Delta AD'C'} \right ].SC'\)
\(=\frac{1}{6}\left [ AB'.B'C'+AD'.D'C' \right ].SC' \ \ (*)\)
Ta có:
\(\frac{1}{AB^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{c^2}=\frac{a^2+c^2}{a^2.c^2} \)
\(\Rightarrow AB^2=\frac{a^2.c^2}{a^2+c^2}\Rightarrow AB^2= \frac{ac}{\sqrt{a^2+c^2}}\) (5)
Tương tự: \(AD'^2=\frac{b^2c^2}{b^2+c^2}\Rightarrow AD'=\frac{bc}{\sqrt{b^2+c^2}}\) (6)
\(\frac{1}{AC'^2}=\frac{1}{c^2}+\frac{1}{AC^2}=\frac{1}{c^2}+\frac{1}{a^2+b^2}\)
\(= \frac{a^2+b^2+c^2}{c^2(a^2+b^2)}\)
\(\Rightarrow AC'^2=\frac{c^2(a^2+b^2)}{a^2+b^2+c^2}\)
\(\Rightarrow AC'= \frac{c\sqrt{a^2+b^2}}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\) (7)
\(\Rightarrow B'C'^2=AC'^2-AB'^2\)
\(=-\frac{a^2c^2}{a^2+c^2}+\frac{c^2(a^2+b^2)}{a^2+b^2+c^2}\)
\(=\frac{-a^4c^2-a^2b^2c^2-a^2c^4+a^4c^2+c^4a^2+a^2b^2c^2+c^4b^2} {(a^2+c^2)(a^2+b^2+c^2)}\)
\(=\frac{c^4b^2}{(a^2+c^2)(a^2+b^2+c^2)}\)
\(\Rightarrow B'C'=\frac{c^2b}{\sqrt{(a^2+c^2)(a^2+b^2+c^2)}} \ \ (8)\)
Tương tự: \(C'D'=\frac{c^2a}{\sqrt{(b^2+c^2)(a^2+b^2+c^2)}} \ \ (9);\)
\(SC'= \frac{c^2}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \ \ (10)\)
Thay (5) (6) (7) (8) (9) và (10) vào (*) ta có:
\(V_{S.AB'C'D'}=\)
\(\frac{1}{6}\Bigg [ \frac{ac}{\sqrt{a^2+c^2}}.\frac{c^2b}{(a^2+c^2)(a^2+b^2+c^2)}\).\(+ \frac{bc}{\sqrt{a^2+c^2}}. \frac{c^2a}{\sqrt{(b^2+c^2)}(a^2+b^2+c^2)} \Bigg ]\) \(\frac{c^2}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\)
\(=\frac{1}{6}\frac{c^5ab}{a^2+b^2+c^2} \left [ \frac{1}{a^2+c^2}+\frac{1}{b^2+c^2} \right ]\)
-- Mod Toán 12
Bạn có biết?
Toán học là ngành nghiên cứu trừu tượng về những chủ đề như: lượng (các con số), cấu trúc, không gian, và sự thay đổi.Các nhà toán học và triết học có nhiều quan điểm khác nhau về định nghĩa và phạm vi của toán học
Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thưTâm sự Lớp 12
Lớp 12 - Năm cuối ở cấp tiểu học, năm học quan trọng nhất trong đời học sinh trải qua bao năm học tập, bao nhiêu kì vọng của người thân xung quanh ta. Những nỗi lo về thi đại học và định hướng tương lai thật là nặng. Hãy tin vào bản thân là mình sẽ làm được rồi tương lai mới chờ đợi các em!
Nguồn : ADMIN :))Copyright © 2021 HOCTAPSGK