Bài tập 1.17 trang 19 SBT Hình học 12
Bài tập 1.17 trang 19 SBT Hình học 12
Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của B′C′ và C′D′. Mặt phẳng (AEF) chia hình hộp đó thành hai hình đa diện (H) và (H′), trong đó (H) là hình đa diện chứa đỉnh A′. Tính tỉ số giữa thể tích hình đa diện (H) và thể tích hình đa diện (H′).
.png)
Trong (A′B′C′D′), gọi I, J lần lượt là giao điểm của EF với A′B′ và A′D′.
Trong (ADD′A′), gọi \(M = AJ \cap D'D\).
Trong (ABB′A′), gọi \(L = AI \cap BB'\).
Khi đó thiết diện của hình hộp khi cắt bởi (AEF) là ngũ giác AMFEL.
Khi đó (H) là khối đa diện chứ đỉnh A′ và:
\({V_{\left( H \right)}} = {V_{A.A'IJ}} - {V_{M.D'JF}} - {V_{L.B'IE}}\).
Gọi V0 là thể tích khối tứ diệnA.A′IJ, V là thể tích khối hộp ABCD.A′B′C′D′.
Vì EB′ = EC′ và B′I // C′F
Nên \(IB' = FC' = \frac{{A'B'}}{2}\)
Do đó \(\frac{{IB'}}{{IA'}} = \frac{1}{3}\)
Mà BE′ // A′J, B′L // AA′
\( \Rightarrow \frac{{IL}}{{IA}} = \frac{{IE}}{{IJ}} = \frac{{IB'}}{{IA'}} = \frac{1}{3}\)
\( \Rightarrow \frac{{{V_{I.ELB'}}}}{{{V_{I.JAA'}}}} = \frac{{IL}}{{IA}}.\frac{{IE}}{{IJ}}.\frac{{LE}}{{AJ}} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^3} = \frac{1}{{27}}\)
Do đó \({V_{I.ELB'}} = \frac{1}{{27}}{V_0}\)
Tương tự \({V_{J.MFD'}} = \frac{1}{{27}}{V_0}\)
Gọi A′B′ = a ,B′C′ = b, đường cao hạ từ A xuống (A′B′C′D′) là h thì:
\(IA' = \frac{3}{2}A'B' = \frac{{3a}}{2}\)
\(A'J = \frac{3}{2}A'D' = \frac{{3b}}{2}\) và
\(V = {V_{ABCD.A'B'C'D'}} = {S_{A'B'C'D'}}h \)
\(= abh.\sin \widehat {B'A'D'}\)
\({V_0} = \frac{1}{3}{S_{A'IJ}}.h \)
\(= \frac{1}{3}.\left( {\frac{1}{2}.\frac{{3a}}{2}.\frac{{3b}}{2}sin\widehat {B'A'D'}} \right)h \)
\(= \frac{3}{8}abh.\sin \widehat {B'A'D'}\)
\( \Rightarrow \frac{{{V_0}}}{V} = \frac{3}{8} \Rightarrow {V_0} = \frac{{3V}}{8}\)
Vậy \({V_{(H)}} = {V_0} - \frac{2}{{27}}{V_0} = \frac{{25}}{{27}}{V_0} = \frac{{25}}{{27}}.\frac{{3V}}{8} = \frac{{25}}{{72}}V\)
\({V_{(H')}} = V - {V_{\left( H \right)}} = \frac{{47}}{{72}}V \Rightarrow \frac{{{V_{(H)}}}}{{{V_{(H')}}}} = \frac{{25}}{{47}}\)
-- Mod Toán 12
Bạn có biết?
Toán học là ngành nghiên cứu trừu tượng về những chủ đề như: lượng (các con số), cấu trúc, không gian, và sự thay đổi.Các nhà toán học và triết học có nhiều quan điểm khác nhau về định nghĩa và phạm vi của toán học
Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thưTâm sự Lớp 12
Lớp 12 - Năm cuối ở cấp tiểu học, năm học quan trọng nhất trong đời học sinh trải qua bao năm học tập, bao nhiêu kì vọng của người thân xung quanh ta. Những nỗi lo về thi đại học và định hướng tương lai thật là nặng. Hãy tin vào bản thân là mình sẽ làm được rồi tương lai mới chờ đợi các em!
Nguồn : ADMIN :))Copyright © 2021 HOCTAPSGK