Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông ở B. Cạnh SA vuông góc với đáy. Từ A kẻ các đoạn thẳng AD vuông góc với SB và AE vuông góc với SC. Biết rằng AB = a, BC = b, SA = c.

a) Hãy tính thể tích khối chóp S.ADE

b) Tính khoảng cách từ E đến mặt phẳng (SAB).

a) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}
BC \bot SA\\
BC \bot AB
\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot (SAB)\)

Vì \(AD \subset (SAB)\) nên \(AD \bot BC\)

Mặt khác \(AD \bot SB\) nên \(AD \bot (SBC)\)

Từ đó suy ra \(AD \bot SC\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{SC \bot AE}\\
{SC \bot AD}
\end{array}} \right. \Rightarrow SC \bot (ADE) \)

\(\Rightarrow SC \bot DE\) hay \(SE \bot (ADE)\)

Trong tam giác vuông SAB ta có:

\(SA.AB = AD.SB \)

\(\Rightarrow AD = \frac{{AB.SA}}{{SB}} = \frac{{ac}}{{\sqrt {{a^2} + {c^2}} }}\)

Tương tự, trong tam giác vuông SAC ta có: \(AE = \frac{{SA.AC}}{{SC}} = \frac{{c\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\)

Do \(AD \bot (SBC)\) nên \(AD \bot DE\). Từ đó suy ra:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
DE = \sqrt {A{E^2} - A{D^2}} \\
= \sqrt {\frac{{{c^2}({a^2} + {b^2})}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} - \frac{{{a^2}{c^2}}}{{{a^2} + {c^2}}}}
\end{array}\\
{ = \frac{{{c^2}b}}{{\sqrt {({a^2} + {b^2} + {c^2})({a^2} + {c^2})} }}}
\end{array}\)

\(\begin{array}{l}
SE = \sqrt {S{A^2} - A{E^2}} = \sqrt {{c^2} - \frac{{{c^2}({a^2} + {b^2})}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}} \\
= \frac{{{c^2}}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}
\end{array}\)

Vậy

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
{V_{S.ADE}} = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}AD.DE.SE\\
= \frac{1}{6}\frac{{ac}}{{\sqrt {{a^2} + {c^2}} }}.\frac{{{c^2}b}}{{\sqrt {({a^2} + {b^2} + {c^2})({a^2} + {c^2})} }}\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,.\frac{{{c^2}}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}
\end{array}\\
{ = \frac{{ab{c^5}}}{{6({a^2} + {b^2} + {c^2})({a^2} + {c^2})}}}
\end{array}\)

b) Gọi d là khoảng cách từ E đến mặt phẳng (SAB)

Ta có: \(SD = \sqrt {S{A^2} - A{D^2}} \)

\(= \sqrt {{c^2} - \frac{{{a^2}{c^2}}}{{{a^2} + {c^2}}}} = \frac{{{c^2}}}{{\sqrt {{a^2} + {c^2}} }}\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
{V_{S.ADE}} = {V_{E.SAD}} = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}SD.AD.d\\
= \frac{1}{6}.\frac{{{c^2}}}{{\sqrt {{a^2} + {c^2}} }}.\frac{{ac}}{{\sqrt {{a^2} + {c^2}} }}.d
\end{array}\\
{ = \frac{1}{6}.\frac{{a{c^3}}}{{{a^2} + {c^2}}}.d}
\end{array}\)

Kết hợp với kết quả trong câu a ta suy ra \(d = \frac{{b{c^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}\).

-- Mod Toán 12

Bạn có biết?

Toán học là ngành nghiên cứu trừu tượng về những chủ đề như: lượng (các con số), cấu trúc, không gian, và sự thay đổi.Các nhà toán học và triết học có nhiều quan điểm khác nhau về định nghĩa và phạm vi của toán học

Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thư

Tâm sự Lớp 12

Lớp 12 - Năm cuối ở cấp tiểu học, năm học quan trọng nhất trong đời học sinh trải qua bao năm học tập, bao nhiêu kì vọng của người thân xung quanh ta. Những nỗi lo về thi đại học và định hướng tương lai thật là nặng. Hãy tin vào bản thân là mình sẽ làm được rồi tương lai mới chờ đợi các em!

Nguồn : ADMIN :))

Tiểu học Lớp 6 Lớp 7 Lớp 8 Lớp 9 Lớp 10 Lớp 11 Lớp 12 Hóa học Tài liệu Đề thi & kiểm tra Câu hỏi Đọc truyện chữ Nghe truyện audio Công thức nấu ăn Hỏi nhanh

Liên hệ hợp tác hoặc quảng cáo: gmail

Điều khoản dịch vụ