Bài tập 20 trang 28 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 20 trang 28 SGK Hình học 12 NC
Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ có đáy là tam giác đều cạnh a, điểm A′ cách đều ba điểm A, B, C, cạnh bên AA′ tạo với mặt phẳng đáy một góc 600
a) Tính thể tích của khối lăng trụ đó.
b) Chứng minh rằng mặt bên BCCB′ là một hình chữ nhật.
c) Tính tổng diện tích các mặt bên của hình lăng trụ ABC.A′B′C (tổng đó gọi là diện tích xung quanh của hình (hoặc khối) lăng trụ đã cho).
.jpg)
a) Gọi O là tâm của tam giác đều ABC. Vì A′ cách đều ba đỉnh A, B, C nên A′ nằm trên trục của ΔABC, do đó A′O ⊥ mp(ABC)
AO là hình chiếu của AA′ trên mp (ABC). Do đó \(widehat {A'AO} = {60^0}\)
Trong tam giác vuông A′OA ta có:
\(\begin{array}{l}
\tan {60^0} = \frac{{A'O}}{{AO}}\\
\Rightarrow A'O = AO.\tan {60^0}\\
= \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\sqrt 3 = a
\end{array}\)
Vậy thể tích khối lăng trụ là
\(\begin{array}{l}
V = B.h = {S_{ABC}}.A'O\\
= \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.a = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}
\end{array}\)
b) Vì BC ⊥ AO ⇒ BC ⊥ (AOA′) ⇒> BC ⊥ AA′ hay BC ⊥ BB′ .
Vậy BCC′B′ là hình chữ nhật.
c) Gọi H là trung điểm của AB. Ta có AB ⊥ (A′HO) ⇒ A′H ⊥ AB
Trong tam giác vuông A′OH, ta có
\(\begin{array}{l}
A'{H^2} = A'{O^2} + O{H^2}\\
= {a^2} + {\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{6}} \right)^2} = \frac{{13{a^2}}}{{12}}\\
\Rightarrow A'H = \frac{{a\sqrt {13} }}{{2\sqrt 3 }}
\end{array}\)
Diện tích hình bình hành ABB′A′:
\({S_{ABB'A'}} = AB.AH = {a^2}\frac{{\sqrt {13} }}{{2\sqrt 3 }}\)
Tương tự \({S_{ACC'A'}} = \frac{{{a^2}\sqrt {13} }}{{2\sqrt 3 }}\)
Diện tích hình chữ nhật BCC′B′ là:
\(\begin{array}{l}
{S_{BCC\prime B\prime }} = BB\prime .BC = AA\prime .BC\\
= \frac{{AO}}{{cos{{60}^0}}}.a = \frac{{2{a^2}\sqrt 3 }}{3}
\end{array}\)
Vậy diện tích xung quanh hình lăng trụ là
\(\begin{array}{l}
{S_{xq}} = 2{S_{AA\prime B\prime B}} + {S_{BCC\prime B\prime }}\\
= \frac{{{a^2}\sqrt {13} }}{{\sqrt 3 }} + \frac{{2{a^2}\sqrt {13} }}{3}\\
= \frac{{{a^2}\sqrt {13} }}{3}\left( {\sqrt {13} + 2} \right)
\end{array}\)
-- Mod Toán 12
Bạn có biết?
Toán học là ngành nghiên cứu trừu tượng về những chủ đề như: lượng (các con số), cấu trúc, không gian, và sự thay đổi.Các nhà toán học và triết học có nhiều quan điểm khác nhau về định nghĩa và phạm vi của toán học
Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thưTâm sự Lớp 12
Lớp 12 - Năm cuối ở cấp tiểu học, năm học quan trọng nhất trong đời học sinh trải qua bao năm học tập, bao nhiêu kì vọng của người thân xung quanh ta. Những nỗi lo về thi đại học và định hướng tương lai thật là nặng. Hãy tin vào bản thân là mình sẽ làm được rồi tương lai mới chờ đợi các em!
Nguồn : ADMIN :))Copyright © 2021 HOCTAPSGK