Bài tập 1.33 trang 20 SBT Hình học 12
Bài tập 1.33 trang 20 SBT Hình học 12
Cho tứ diện đều ABCD. Gọi (H) là hình bát diện đều có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tứ diện đều đó. Tính tỉ số \(\frac{{{V_{(H)}}}}{{{V_{ABCD}}}}\).
.png)
Gọi cạnh của tứ diện đều là a thì cạnh của hình bát diện đều (H) là \(\frac{a}{2}\).
+) Tính thể tích tứ diện đều ABCD cạnh a.
.png)
Gọi E là trung điểm của BC và F là trọng tâm của tam giác ABC.
Khi đó \({S_{ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)
Và \(DF = \sqrt {D{A^2} - A{F^2}} \)
\(= \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}}= \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\)
\( \Rightarrow {V_{ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}}.DF = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{{a\sqrt 6 }}{3} \)
\(= \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\).
+) Tính thể tích khối bát diện đều cạnh \(\frac{a}{2}\).
Xét bát diện đều SABCDS′ có cạnh \(\frac{a}{2}\).
Thể tích khối bát diện đều \({V_{\left( H \right)}} = 2{V_{S.ABCD}}\)
Gọi \(O = AC \cap BD \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\)
Vì ABCD là hình vuông nên \(AC = BD = \frac{{a\sqrt 2 }}{2} \)
\(\Rightarrow OA = \frac{1}{2}AC = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}\)
\(SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SO \bot OA \)
\(\Rightarrow \Delta SOA\) vuông tại O
\( \Rightarrow SO = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}} \)
\(= \sqrt {{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{4}} \right)}^2}} \)
\(= \frac{{a\sqrt 2 }}{4}\)
\( \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SO.{S_{ABCD}} \)
\(= \frac{1}{3}\frac{{a\sqrt 2 }}{4}.{\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{48}}\)
\( \Rightarrow {V_{\left( H \right)}} = 2.\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{48}} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{24}}\)
Vậy \(\frac{{{V_{(H)}}}}{{{V_{ABCD}}}} = \frac{1}{2}\).
-- Mod Toán 12
Bạn có biết?
Toán học là ngành nghiên cứu trừu tượng về những chủ đề như: lượng (các con số), cấu trúc, không gian, và sự thay đổi.Các nhà toán học và triết học có nhiều quan điểm khác nhau về định nghĩa và phạm vi của toán học
Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thưTâm sự Lớp 12
Lớp 12 - Năm cuối ở cấp tiểu học, năm học quan trọng nhất trong đời học sinh trải qua bao năm học tập, bao nhiêu kì vọng của người thân xung quanh ta. Những nỗi lo về thi đại học và định hướng tương lai thật là nặng. Hãy tin vào bản thân là mình sẽ làm được rồi tương lai mới chờ đợi các em!
Nguồn : ADMIN :))Copyright © 2021 HOCTAPSGK
