Bài tập 12 trang 147 SGK Giải tích 12
Bài tập 12 trang 147 SGK Giải tích 12
Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến số:
a) \(\int_{0}^{\frac{\pi }{24}}tan \left ( \frac{\pi }{3}-4x \right )dx\) (đặt \(u=cos\left ( \frac{\pi }{3}-4x \right )\))
b) \(\int_{\frac{\sqrt{3}}{5}}^{\frac{3}{5}}\frac{dx}{9+25x^2}\) (đặt \(x=\frac{3}{5}tant\))
c) \(\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}sin^3xcos^4xdx\) (đặt u = cosx)
d) \(\int_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}\frac{\sqrt{1+tanx}}{cos^2x}dx\) (đặt \(u=\sqrt{1+tanx}\))
Nhận xét:
Đề bài đã cho sẵn cách đặt các biến để thực hiện đổi biến số.
Lưu ý: Khi tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số cần thực hiện bước đổi cận.
Lời giải:
Lời giải chi tiết câu a, b, c, d bài 12 như sau:
Câu a:
Đặt \(u=cos\left ( \frac{\pi}{3} -4x\right )\Rightarrow du= 4sin\left ( \frac{\pi}{3} -4x \right )dx\)
\(\Rightarrow sin \left ( \frac{\pi}{3} -4x \right )dx=\frac{du}{4}\)
Đổi cận:
Do đó:
\(\int_{0}^{\frac{\pi }{24}}tan\left ( \frac{\pi }{3} -4x\right )dx=\int_{0}^{\frac{\pi }{24}} \frac{sin\left ( \frac{\pi }{3} -4x\right )}{cos\left ( \frac{\pi}{3}-4x \right )}dx\)
\(=\frac{1}{4}\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3} }{2}}\frac{du}{u}=\frac{1}{4}ln|u| \Bigg |_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3} }{2}}=\frac{1}{8}ln3\).
Câu b:
Đặt \(x=\frac{3}{5}tant\Rightarrow dx=\frac{3dt}{5cos^2t}\)
Do đó
\(\int_{\frac{\sqrt{3}}{5}}^{\frac{3}{5}}\frac{dx}{9+25x^2}= \int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}}\frac{3dt}{5cos^2t(9+9tan^2t)}= \frac{1}{15}\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}}dt\)
\(=\frac{1}{15} \left ( \frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{6} \right )=\frac{\pi }{180}\).
Câu c:
Đặt u = cosx ⇒ du = - sinx dx
Do đó
\(\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}sin^3xcos^4dx=\int_{1}^{0}(u^2-1)u^4du\)
\(=\int_{1}^{0}(u^6-u^4)du=\left ( \frac{u^7}{7}-\frac{u^5}{5} \right ) \Bigg |_{1}^{0}=\frac{2}{35}\).
Câu d:
Đặt \(u=\sqrt{1+tanx}\) hay \(u^2=1+tanx\Rightarrow 2udu=\frac{dx}{cos^2x}\)
Do đó \(\int_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}\frac{\sqrt{1+tanx}}{cos^2x}dx= \int_{0}^{\sqrt{2}}2u^2du=\frac{2}{3}u^3 \Bigg |_{0}^{\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{3}\).
-- Mod Toán 12
Bạn có biết?
Toán học là ngành nghiên cứu trừu tượng về những chủ đề như: lượng (các con số), cấu trúc, không gian, và sự thay đổi.Các nhà toán học và triết học có nhiều quan điểm khác nhau về định nghĩa và phạm vi của toán học
Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thưTâm sự Lớp 12
Lớp 12 - Năm cuối ở cấp tiểu học, năm học quan trọng nhất trong đời học sinh trải qua bao năm học tập, bao nhiêu kì vọng của người thân xung quanh ta. Những nỗi lo về thi đại học và định hướng tương lai thật là nặng. Hãy tin vào bản thân là mình sẽ làm được rồi tương lai mới chờ đợi các em!
Nguồn : ADMIN :))Copyright © 2021 HOCTAPSGK