Bài tập 20 trang 196 SGK Toán 12 NC
Bài tập 20 trang 196 SGK Toán 12 NC
a) Hỏi công thức Vi-ét về phương trình bậc hai với hệ số thực có còn đúng cho phương trình bậc hai với hệ số phức không? Vì sao?
b) Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 4 – i và tích của chúng bằng 5(1 – i)
c) Có phải mọi phương trình bậc hai z2 + Bz + C = 0 (B,C là hai số phức) nhận hai nghiệm là hai số phức liên hợp không thực phải có các hệ số B,C là hai số thực? Vì sao? Điều ngược lại có đúng không?
a) Công thức nghiệm của phương trình bậc hai Az2 + Bz + C = 0 là:
\(z = \frac{{ - B \pm \delta }}{{2A}}({\delta ^2} = {B^2} - 4AC)\)
Do đó:
\(\begin{array}{l}
{z_1} + {z_2} = - \frac{B}{A};\\
{z_1}.{z_2} = \frac{{( - B - \delta )( - B + \delta )}}{{2A.2A}}\\
= \frac{{{B^2} - {\delta ^2}}}{{4{A^2}}} = \frac{{4AC}}{{4{A^2}}} = \frac{C}{A}
\end{array}\)
Vậy công thức Viét vẫn còn đúng.
b) Giả sử \({z_1} + {z_2} = \alpha ;{z_1}{z_2} = \beta \)
\({z_1},{z_2}\) là nghiệm của phương trình:
\(\begin{array}{l}
(z - {z_1})(z - {z_2}) = 0\\
\Leftrightarrow {z^2} - ({z_1} + {z_2})z + {z_1}{z_2} = 0\\
\Leftrightarrow {z^2} - \alpha z + \beta = 0
\end{array}\)
Theo đề bài \({z_1} + {z_2} = 4 - i,{z_1}{z_2} = 5(1 - i)\)
Nên z1; z2 là hai nghiệm phương trình.
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{{z^2} - \left( {4 - i} \right)z + 5\left( {1 - i} \right) = 0}\\
\begin{array}{l}
\Delta = {(4 - i)^2} - 20(1 - i)\\
= 16 - 1 - 8i - 20 + 20i\\
= - 5 + 12i
\end{array}
\end{array}\)
Giả sử
\(\begin{array}{l}
{(x + yi)^2} = - 5 + 12i\\
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} - {y^2} = - 5}\\
{2xy = 12}
\end{array}} \right.
\end{array}\)
\(\begin{array}{l}
\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} - \frac{{36}}{{{x^2}}} = - 5}\\
{y = \frac{6}{x}}
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^4} + 5{x^2} - 36 = 0}\\
{y = \frac{6}{x}}
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2}\\
{y = 3}
\end{array}} \right. \vee \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = - 2}\\
{y = - 3}
\end{array}} \right.
\end{array}\)
Vậy Δ có hai căn bậc hai là ±(2 + 3i).
Phương trình bậc hai (*) có hai nghiệm:
\(\begin{array}{l}
{z_1} = \frac{1}{2}\left[ {4 - i + \left( {2 + 3i} \right)} \right] = 3 + i\\
{z_2} = \frac{1}{2}[4 - i - (2 + 3i)] = 1 - 2i
\end{array}\)
c) Nếu phương trình z2 + Bz + C = 0 có hai nghiệm z1, z2 là hai số phức liên hợp, \({z_2} = \overline {{z_1}} \) thì theo công thức Viet, \(B = - \left( {{z_1} + {z_2}} \right) = - \left( {{z_1} + \overline {{z_1}} } \right)\) là số thực, \(C = {z_1}{z_2} = {z_1}\overline {{z_1}} \) là số thực
Điều ngược lại không đúng vì nếu B, C thực thì Δ = B2 − 4AC > 0 hai nghiệm là số thực phân biệt, chúng không phải là liên hợp với nhau. (Khi Δ ≤ 0 thì phương trình mới có hai nghiệm là hai số phức liên hợp).
-- Mod Toán 12
Bạn có biết?
Toán học là ngành nghiên cứu trừu tượng về những chủ đề như: lượng (các con số), cấu trúc, không gian, và sự thay đổi.Các nhà toán học và triết học có nhiều quan điểm khác nhau về định nghĩa và phạm vi của toán học
Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thưTâm sự Lớp 12
Lớp 12 - Năm cuối ở cấp tiểu học, năm học quan trọng nhất trong đời học sinh trải qua bao năm học tập, bao nhiêu kì vọng của người thân xung quanh ta. Những nỗi lo về thi đại học và định hướng tương lai thật là nặng. Hãy tin vào bản thân là mình sẽ làm được rồi tương lai mới chờ đợi các em!
Nguồn : ADMIN :))Copyright © 2021 HOCTAPSGK