Bài tập 3 trang 146 SGK Giải tích 12
Bài tập 3 trang 146 SGK Giải tích 12
Cho hàm số y = ax3 + ax2 + bx + 1
a) Tìm a và b để đồ thị hàm số đi qua A(1;2) và B(-2; -1)
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với các giá trị tìm được của a và b.
c) Tính thể tích của vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 0, x = 0, x = 1 và đồ thị (C) xung quanh trục hoành.
Phương pháp:
Câu a, do đồ thị hàm số đi qua A và B, nên thay tọa độ A và B vào hàm số ta sẽ thu được hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Giải hệ này ra sẽ tìm được a và b.
Câu b, thực hiên các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc 3.
Câu c, áp dụng công thức tính thể tích khối trón xoay bằng tích phân.
Lời giải:
Ta có lời giải chi tiết câu a, b, c bài 4 như sau:
Câu a:
Đồ thị hàm số y = f(x) = x3 + ax2 + bx + 1 đi qua các điểm A(1;2) và B(-2; -1) khi:
\(\left\{\begin{matrix} f(1)=2\\ f(-2)=-1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 1^3+a(1)^2+b(1)+1=2\\ (-2)^3+a(-2)^2+b(-2)+1=-1 \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=0\\ 4a-2b=6 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=1\\ b=-1 \end{matrix}\right.\)
Vậy hàm số thoả mãn yêu cầu bài toán là: y = x3 + x2 - x + 1.
Câu b:
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x3 + x2 - x + 1
Tập xác định: D = R.
Giới hạn:
\(\lim_{x\rightarrow +\infty }y=\lim_{x\rightarrow +\infty }(x^3+x^2-x+1)=+\infty\)
\(\lim_{x\rightarrow -\infty }y=\lim_{x\rightarrow -\infty }(x^3+x^2-x+1)=-\infty\)
Sự biến thiên:
\(y'=3x^2+2x-1;y'=0\Leftrightarrow \Bigg \lbrack \begin{matrix} x=-1\\ \\ x=\frac{1}{3} \end{matrix}\)
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty ;1)\) và \((\frac{1}{3};+\infty )\), hàm số nghịch biến trên khoảng \((-1; \frac{1}{3})\).
Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x=-1, giá trị cực đại \(y_{CD}=y(-1)=2;\) Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=\frac{1}{3}\), giá trị cực tiểu \(y_{CT}=y\left ( \frac{1}{3} \right )=\frac{22}{27}\).
Đồ thị hàm số:
Tính đối xứng: Ta có \(y''=6x+2, y=0\Leftrightarrow x=-\frac{1}{3}\). Vậy đồ thị hàm số nhận điểm \(\left ( -\frac{1}{3};\frac{38}{27} \right )\) làm tâm đối xứng.
Đồ thị cắt trục Oy tại (0;1).
Đồ thị hàm số đi qua các điểm (-1;2) và (1;2).
Đồ thị hàm số:
c) Thể tích vật thể tròn xoay cần tìm là:
\(\begin{array}{l} V = \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {{x^3} + {x^2} - x + 1} \right)}^2}dx} \\ = \pi \int\limits_0^1 {({x^6} + 2{x^5} - {x^4} + 3{x^2} - 2x + 1)dx} \\ = \left. {\pi \left( {\frac{{{x^7}}}{7} + \frac{{{x^6}}}{3} - \frac{{{x^5}}}{5} + {x^3} - {x^2} + x} \right)} \right|_0^1 = \frac{{134\pi }}{{105}}. \end{array}\)
-- Mod Toán 12
Bạn có biết?
Toán học là ngành nghiên cứu trừu tượng về những chủ đề như: lượng (các con số), cấu trúc, không gian, và sự thay đổi.Các nhà toán học và triết học có nhiều quan điểm khác nhau về định nghĩa và phạm vi của toán học
Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thưTâm sự Lớp 12
Lớp 12 - Năm cuối ở cấp tiểu học, năm học quan trọng nhất trong đời học sinh trải qua bao năm học tập, bao nhiêu kì vọng của người thân xung quanh ta. Những nỗi lo về thi đại học và định hướng tương lai thật là nặng. Hãy tin vào bản thân là mình sẽ làm được rồi tương lai mới chờ đợi các em!
Nguồn : ADMIN :))Copyright © 2021 HOCTAPSGK