Bài tập 5.7 trang 220 SBT Toán 12
Bài tập 5.7 trang 220 SBT Toán 12
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) \({e^x} + \cos x \ge 2 + x - \frac{{{x^2}}}{2},\forall x \in R\)
b) \({e^x} - {e^{ - x}} \ge 2\ln (x + \sqrt {1 + {x^2}} ),\forall x \ge 0\)
c) \(8{\sin ^2}\frac{x}{2} + \sin 2x > 2x,\forall x \in (0;\pi ]\)
a) Xét hàm số
\(f(x) = {e^x} + \cos x - 2 - x + \frac{{{x^2}}}{2}\)
có tập xác định là R.
\(\begin{array}{l}
f'(x) = {e^x} - \sin x - 1 + x\\
f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0
\end{array}\)
Ta lại có \(f''(x) = {e^x} + 1 - \cos x > 0,\forall x\)
vì \(1 - \cos x \ge 0\) và \({e^x} > 0\)
Như vậy, f’(x) đồng biến trên R.
Từ đó:
\(\begin{array}{l}
f'(x) < f'(0) = 0,\forall x < 0\\
f'(x) > f'(0) = 0,\forall x > 0
\end{array}\)
Ta có bảng biến thiên
Hàm số
\(\begin{array}{l}
f(x) = {e^x} + \cos x - 2 - x + \frac{{{x^2}}}{2}\\
\ge {f_{CT}} = f(0) = 0,\forall x \in R
\end{array}\)
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
b) \(\forall x \ge 0\) xét hàm số
\(f(x) = {e^x} - {e^{ - x}} - 2\ln (x + \sqrt {1 + {x^2}} )\), ta có
\(f'(x) = {e^x} + {e^{ - x}} - \frac{2}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}\)
Từ đó f'(x) > 0 với mọi x > 0
(vì \({e^x} + {e^{ - x}} > 2\) và \(\frac{2}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} < 2\))
Và \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0\)
Vậy f(x) đồng biến trên \([0; + \infty )\), tức là:
\(f(x) \ge f(0) = {e^0} - {e^0} - 2\ln 1 = 0\)
Từ đó suy ra điều cần chứng minh
c) Xét hàm số
\(f(x) = 8{\sin ^2}\frac{x}{2} + \sin 2x - 2x,\forall x \in (0;\pi ]\)
\(\begin{array}{l}
f'(x) = 4\sin x + 2\cos 2x - 2\\
= 4\sin x(1 - \sin x)
\end{array}\)
\(f\prime \left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{2}\\
x = \pi
\end{array} \right.\)
Với \(x \in (0;\pi ]\) ta có \(f'(x) \ge 0\) và dấu bằng chỉ xảy ra tại hai điểm.
Vậy f(x) đồng biến trên nửa \((0;\pi ]\).
Mặt khác, f(0) = 0 nên f(x) > 0.
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
-- Mod Toán 12
Bạn có biết?
Toán học là ngành nghiên cứu trừu tượng về những chủ đề như: lượng (các con số), cấu trúc, không gian, và sự thay đổi.Các nhà toán học và triết học có nhiều quan điểm khác nhau về định nghĩa và phạm vi của toán học
Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thưTâm sự Lớp 12
Lớp 12 - Năm cuối ở cấp tiểu học, năm học quan trọng nhất trong đời học sinh trải qua bao năm học tập, bao nhiêu kì vọng của người thân xung quanh ta. Những nỗi lo về thi đại học và định hướng tương lai thật là nặng. Hãy tin vào bản thân là mình sẽ làm được rồi tương lai mới chờ đợi các em!
Nguồn : ADMIN :))Copyright © 2021 HOCTAPSGK