Bài tập 7 trang 146 SGK Giải tích 12
Bài tập 7 trang 146 SGK Giải tích 12
Cho hàm số \(y=\frac{2}{2-x}\)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
b) Tìm các giao điểm của (C) và đồ thị hàm số y = x2 + 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại mỗi giao điểm.
c) Tính thể tích vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị (C) và các đường thẳng y = 0, x = 0, x = 1 xung quanh trục Ox.
Phương pháp:
Câu a: Vận dụng các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất.
Câu b: Lập phương trình hoành độ giao điểm để tìm tọa độ giao điểm.
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=f(x) tại tiếp điểm M(x0,y0) thuộc đồ thị hàm số đã học ở chương trình lớp 11 có dạng:
\(y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)\)
Câu c: Ứng dụng tích phân tính thể tích khối tròn xoay.
Lời giải:
Lời giải chi tiết câu a, b, c bài 7 như sau:
Câu a:
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số:
Tập xác định: D = R\{2}.
Giới hạn:
\(\lim_{x\rightarrow +\infty }y= \lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{2}{2-x}=0; \lim_{x\rightarrow - \infty }y= \lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{2}{2-x}=0\)
\(\lim_{x\rightarrow 2^- }y= \lim_{x\rightarrow 2^- }\frac{2}{2-x}=-\infty; \lim_{x\rightarrow 2^+ }y= \lim_{x\rightarrow 2^+ }\frac{2}{2-x}=+\infty\)
Đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = 2 làm tiệm cận đứng và đường thẳng y = 0 làm tiệm cận ngang.
Sự biến thiên: \(y' = \frac{2}{{{{(2 - x)}^2}}} > 0,\forall x \ne 2.\)
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty ;2)\) và \((2;+\infty )\)
Hàm số không có cực trị:
Đồ thị có dạng:
Đồ thị hàm số nhận điểm (2;0) làm tâm đối xứng.
Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm (0;1).
Đồ thị hàm số đi qua điểm (1;2).
Câu b:
Hoành độ giao điểm của (C) với đồ thị hàm số y = x2 + 1 là nghiệm của phương trình:
\(\frac{2}{2-x}=x^2+1\Leftrightarrow 2=(x^2+1)(2-x)\) với \(x\neq 2\)
\(\Leftrightarrow x(-x^2+2x-1)=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} x=0\\ x=1 \end{matrix}\)
Ta có \(f'(x)=\frac{2}{(2-x)^2}\)
- Với x = 0 ⇒ y = 1 và \(f'(0)=\frac{1}{2}\)
⇒ phương trình tiếp tuyến có dạng \(y=\frac{1}{2}x+1\).
- Với x = 1 ⇒ y = 2 và f'(1) = 2
⇒ phương trình tiếp tuyến có dạng y = 2(x-1) + 2 hay y = 2x.
Câu c:
Thể tích vật thể tròn xoay cần tìm là:
\(V=\pi \int_{0}^{1}\left ( \frac{2}{2-x} \right )^2dx=4\pi \int_{0}^{1} \frac{dx}{(2-x)^2}=4\pi \frac{1}{2-x} \Bigg |^1_0\)
\(= 4\pi \left ( 1-\frac{1}{2} \right )=2 \pi\) (đvdt).
-- Mod Toán 12
Bạn có biết?
Toán học là ngành nghiên cứu trừu tượng về những chủ đề như: lượng (các con số), cấu trúc, không gian, và sự thay đổi.Các nhà toán học và triết học có nhiều quan điểm khác nhau về định nghĩa và phạm vi của toán học
Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thưTâm sự Lớp 12
Lớp 12 - Năm cuối ở cấp tiểu học, năm học quan trọng nhất trong đời học sinh trải qua bao năm học tập, bao nhiêu kì vọng của người thân xung quanh ta. Những nỗi lo về thi đại học và định hướng tương lai thật là nặng. Hãy tin vào bản thân là mình sẽ làm được rồi tương lai mới chờ đợi các em!
Nguồn : ADMIN :))Copyright © 2021 HOCTAPSGK