Bài tập 17 trang 195 SGK Toán 12 NC
Bài tập 17 trang 195 SGK Toán 12 NC
Tìm các căn bậc hai của mỗi số phức sau: −i; 4i - 4; -4; \(1 + 4\sqrt 3 i\)
* Giả sử z = x + yi là căn bậc hai của −i, ta có:
\(\begin{array}{l}
{(x + yi)^2} = - i\\
\Leftrightarrow {x^2} - {y^2} + 2xyi = - i\\
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} - {y^2} = 0\left( 1 \right)}\\
{2xy = - 1\left( 2 \right)}
\end{array}} \right.
\end{array}\)
Từ (2) suy ra \(y = \frac{{ - 1}}{{2x}}\) thế vào (1) ta được:
\(\begin{array}{l}
{x^2} - \frac{1}{{4{x^2}}} = 0\\
\Leftrightarrow {x^4} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow x = \pm \frac{1}{{\sqrt 2 }}
\end{array}\)
- Với \(x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\) có \(y = - \frac{1}{{2x}} = - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)
- Với \(x = \frac{-1}{{\sqrt 2 }}\) có \(y = - \frac{1}{{2x}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)
Hệ phương trình có 2 nghiệm:
\(\left( { - \frac{1}{{\sqrt 2 }};\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right);\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}; - \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)\)
Vậy -i có hai căn bậc hai là \({z_1} = - \frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 }}i,{z_2} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} - \frac{1}{{\sqrt 2 }}i\)
* Giả sử z = x + yi là căn bậc hai của 4i, ta có:
\(\begin{array}{l}
{(x + yi)^2} = 4i\\
\Leftrightarrow {x^2} - {y^2} + 2xyi = 4i\\
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} - {y^2} = 0\left( 1 \right)}\\
{xy = 2\left( 2 \right)}
\end{array}} \right.
\end{array}\)
Thay y = 2/x vào phương trình (1) ta được:
\(\begin{array}{l}
{x^2} - \frac{4}{{{x^2}}} = 0\\
\Leftrightarrow {x^4} = 4 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 2
\end{array}\)
Với \(x = \sqrt 2 \) ta có \(y = \frac{2}{x} = \sqrt 2 \)
Với \(x = -\sqrt 2 \) ta có \(y = \frac{2}{x} = - \sqrt 2 \)
Hệ có hai nghiệm:
\(\left( {\sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right);\left( { - \sqrt 2 ; - \sqrt 2 } \right)\)
Vậy 4i có hai căn bậc hai là:
\({z_1} = \sqrt 2 + \sqrt 2 i;{z_2} = - \sqrt 2 - \sqrt 2 i\)
* Ta có −4 = 4i2 = (2i)2 do đó −4 có hai căn bậc hai là ±2i
Giả sử z = x + yi là căn bậc hai của \(1 + 4\sqrt 3 i\)
\({\left( {x + yi} \right)^2} = 1 + 4\sqrt 3 i\)
\(\begin{array}{l}
\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} - {y^2} = 1}\\
{2xy = 2\sqrt 3 }
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{y = \frac{{2\sqrt 3 }}{x}}\\
{{x^2} - \frac{{12}}{{{x^2}}} = 1}
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{y = \frac{{2\sqrt 3 }}{x}}\\
{{x^2} = 4}
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2}\\
{y = \sqrt 3 }
\end{array}} \right. \vee \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = - 2}\\
{y = - \sqrt 3 }
\end{array}} \right.
\end{array}\)
Hệ phương trình có 2 nghiệm \(\left( {2;\sqrt 3 } \right),\left( { - 2; - \sqrt 3 } \right)\)
Vậy \(1 + 4\sqrt 3 i\) có hai căn bậc hai là \({z_1} = 2 + \sqrt 3 i,{z_2} = - 2 - \sqrt 3 i\)
-- Mod Toán 12
Bạn có biết?
Toán học là ngành nghiên cứu trừu tượng về những chủ đề như: lượng (các con số), cấu trúc, không gian, và sự thay đổi.Các nhà toán học và triết học có nhiều quan điểm khác nhau về định nghĩa và phạm vi của toán học
Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thưTâm sự Lớp 12
Lớp 12 - Năm cuối ở cấp tiểu học, năm học quan trọng nhất trong đời học sinh trải qua bao năm học tập, bao nhiêu kì vọng của người thân xung quanh ta. Những nỗi lo về thi đại học và định hướng tương lai thật là nặng. Hãy tin vào bản thân là mình sẽ làm được rồi tương lai mới chờ đợi các em!
Nguồn : ADMIN :))Copyright © 2021 HOCTAPSGK