Bài tập 9 trang 100 SGK Hình học 12
Bài tập 9 trang 100 SGK Hình học 12
Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(2; 4; -1), B(1; 4; -1), C(2; 4; 3), D(2; 2; -1).
a) Chứng mỉnh rằng các đường thẳng AB, AC, AD vuông góc với nhau từng đôi một. Tính thể tích tứ diện ABCD.
b) Viết phương tình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D.
c) Viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) tiếp xúc với mặt cầu (S) và song song mặt phẳng (ABD).
Phương pháp:
Câu a: Đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng AC khi \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0.\) Tương tự với các cặp đường thẳng khác.
Do AB, AC, AD đôi một vuông góc nên ta dễ dàng tính được thể tích tứ diện ABCD: \({V_{ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}}.AD = \frac{1}{6}.AB.AC.AD.\)
Câu b:
Nếu không biết cách suy luận, ta sẽ giải câu b bằng cách thông thường nặng về tính toán:
Gọi (S) là phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, thì phương trình (S) có dạng: \(x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0\), điều kiện \(a^2+b^2+c^2-d> 0\). (*)
Thay tọa độ 4 đỉnh vào (*) và giải hệ phương trình ta được giá trị của A, B, C, D.
Tuy nhiên, ở câu a ta đã chứng minh được AB, AC, AD đôi một vuông góc, nên ta có thể dễ dàng xác định được tâm mặt cầu ngoài tiếp tứ diện ABCD. Khi đó lời giải sẽ đơn giản và nhanh hơn rất nhiều.
Câu c:
\((\alpha )\) song song với mặt phẳng (ABD) ta dễ dàng suy ra được VTPT của \((\alpha )\). Từ đó suy ra được dạng phương trình tổng quát của \((\alpha )\).
Ax+By+Cz+D=0 với A, B, C đã biết. Ta sử dụng dữ kiện \((\alpha )\) tiếp xúc với (S) để tìm D.
Lời giải:
Lời giải chi tiết câu a, b, c bài 9 như sau:
Câu a:
\(\overrightarrow{AB}=(-1;0;0), \overrightarrow{AC}=(0;0;4), \overrightarrow{AD}=(0;-2;0)\)
Ta có: \(\overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}= \overrightarrow{AC}. \overrightarrow{AD}= \overrightarrow{AD}. \overrightarrow{AB}=0\)
Suy ra AB, AC, AD vuông góc với nhau từng đôi một.
Thể tích tứ diện ABCD là: \({V_{ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}}.AD = \frac{1}{6}.AB.AC.AD = \frac{4}{3}.\)
Câu b:
Gọi M là trung điểm BC ta có \(M(\frac{3}{2};4;1)\)
Gọi d là đường thẳng đi qua M và vuông góc với mặt phẳng (ABC) ta suy ra d chính là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Gọi (P) là mặt phẳng trung trực của đường thẳng AD.
Khi đó giao điểm của (P) và d chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Ta có: \(\overrightarrow{MI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_I=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}.0=\frac{3}{2}\\ y_I=4+\frac{1}{2}.(-2)=3\\ z_I=1+\frac{1}{2}.0=1 \end{matrix}\right.\)
Vậy tâm mặt cầu (S) là \(I(\frac{3}{2};3;1)\), bán kính \(R=IA=\frac{\sqrt{21}}{2}\)
Vậy phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD là:
\((x-\frac{3}{2})^2+(y-3)^2+(z-1)^2=\frac{21}{4}\).
Câu c:
Ta có: \(\overrightarrow{AB}=(-1;0;0)\) và \(\overrightarrow{AD}=(0;-2;0)\)
\(\left [ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD} \right ]=(0;0;2)\)
Mặt phẳng (ABD) có một VTPT là: \(\overrightarrow n = \frac{1}{2}.\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right] = (0;0;1).\)
Do \((\alpha )\) song song với (ABD) nên cũng nhận \(\vec{n}=(0;0;1)\) làm VTPT.
Suy ra phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) có dạng \((\alpha )\) z + D = 0.
\((\alpha )\) tiếp xúc với mặt cầu \((S)\Rightarrow d(I,(\alpha ))=r\)
\(\Leftrightarrow \left | 1+D \right |=\frac{\sqrt{21}}{2}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} D=-1+\frac{\sqrt{21}}{2}\\ \\ D=-1-\frac{\sqrt{21}}{2} \end{matrix}\right.\)
Vậy có hai mặt phẳng \((\alpha )\) thoả mãn đề bài:
\((\alpha _1): z-1+\frac{\sqrt{21}}{2}=0\).
\((\alpha _2): z-1-\frac{\sqrt{21}}{2}=0\).
-- Mod Toán 12
Bạn có biết?
Toán học là ngành nghiên cứu trừu tượng về những chủ đề như: lượng (các con số), cấu trúc, không gian, và sự thay đổi.Các nhà toán học và triết học có nhiều quan điểm khác nhau về định nghĩa và phạm vi của toán học
Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thưTâm sự Lớp 12
Lớp 12 - Năm cuối ở cấp tiểu học, năm học quan trọng nhất trong đời học sinh trải qua bao năm học tập, bao nhiêu kì vọng của người thân xung quanh ta. Những nỗi lo về thi đại học và định hướng tương lai thật là nặng. Hãy tin vào bản thân là mình sẽ làm được rồi tương lai mới chờ đợi các em!
Nguồn : ADMIN :))Copyright © 2021 HOCTAPSGK
