Bài tập 1 trang 91 SGK Hình học 12
Bài tập 1 trang 91 SGK Hình học 12
Cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1)
a) Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện.
b) Tìm góc giữa hai đường thẳng AB và CD
c) Tính độ dài đường cao của hình chóp A.BCD
Phương pháp:
- Câu a: 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng khi và chỉ khi \(\left [ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right ].\overrightarrow{AD}\neq 0\).
- Câu b: \(\cos \left( {AB,CD} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right)} \right|.\)
- Câu c: Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Độ dài đường cao của hình chóp A.BCD chính là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD).
Lời giải:
Ta có lời giải chi tiết câu a, b, c bài 1 như sau:
Câu a:
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = ( - 1;1;0),\,\,\overrightarrow {AC} = ( - 1;0;1),\,\,\overrightarrow {AD} = \left( { - 3;1; - 1} \right)\)
\(\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&1 \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - 1}\\ 1&{ - 1} \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&1\\ { - 1}&0 \end{array}} \right|} \right) = \left( {1;1;1} \right)\)
\(\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} = 1.( - 3) + 1.1 + 1.( - 1) = - 3 \ne 0.\)
Suy ra \(\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {AD}\) không đồng phẳng hay A, B, C, D là bốn đỉnh một tứ diện.
Câu b:
Ta có: \(\overrightarrow{AB}=(-1;1;0); \overrightarrow{CD}=(-2;1;-2)\)
\(cos(AB,CD) = \frac{{\left| {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {CD} } \right|}} = \frac{{\left| {2 + 1 + 0} \right|}}{{\sqrt 2 .\sqrt 9 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)
Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và CD là 450.
Câu c:
Ta có:
\(\begin{array}{l} \overrightarrow {BC} = (0; - 1;1),\,\overrightarrow {BD} = \left( { - 2;0; - 1} \right)\\ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {BD} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&1\\ 0&{ - 1} \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ { - 1}&{ - 2} \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - 1}\\ { - 2}&0 \end{array}} \right|} \right) = \left( {1; - 2; - 2} \right). \end{array}\)
Mặt phẳng (BCD) đi qua B(0;1;0) nhận \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {BD} } \right]\) làm VTPT nên có phương trình là:
\(1(x - 0) - 2(y - 1) - 2(z - 0) = 0\) hay \(x - 2y - 2z + 2 = 0.\)
Độ dài đường cao của hình chóp A.BCD là khoảng cách từ A đến mp(BCD), ta có:
\(AH=d(A,(BCD))=\frac{\left | 1+2 \right |}{\sqrt{1+4+4}}=1\).
-- Mod Toán 12
Bạn có biết?
Toán học là ngành nghiên cứu trừu tượng về những chủ đề như: lượng (các con số), cấu trúc, không gian, và sự thay đổi.Các nhà toán học và triết học có nhiều quan điểm khác nhau về định nghĩa và phạm vi của toán học
Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thưTâm sự Lớp 12
Lớp 12 - Năm cuối ở cấp tiểu học, năm học quan trọng nhất trong đời học sinh trải qua bao năm học tập, bao nhiêu kì vọng của người thân xung quanh ta. Những nỗi lo về thi đại học và định hướng tương lai thật là nặng. Hãy tin vào bản thân là mình sẽ làm được rồi tương lai mới chờ đợi các em!
Nguồn : ADMIN :))Copyright © 2021 HOCTAPSGK