Bài tập 31 trang 103 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 31 trang 103 SGK Hình học 12 NC
Cho hai đường thẳng \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}
x = 8 + t\\
y = 5 + 2t\\
z = 8 - t
\end{array} \right.;\)
\({d_2}:\frac{{3 - x}}{7} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{3}\)
a) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng đó chéo nhau.
b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O và song song với d1 và d2.
c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d1 và d2
d) Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
a) Đường thẳng d1 đi qua M1(8; 5; 8) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} (1;2; - 1)\)
Đường thẳng d2 đi qua M2(3; 1; 1) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} ( - 7;2;3)\)
Ta có:
\(\overrightarrow {{M_2}{M_1}} = (5;4;7);[\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} ] = (8;4;16)\)
Do đó
\([\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} ].\overrightarrow {{M_2}{M_1}} = 168 \ne 0\)
Vậy hai đường thẳng d1 và d2 chéo nhau
b) Gọi (α) là mặt phẳng qua O song song với cả d1 và d2.
Mp(α) có vectơ pháp tuyến là \(\vec n = \frac{1}{4}\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {2;1;4} \right)\)
Vậy
\(\begin{array}{l}
\left( \alpha \right):2\left( {x - 0} \right) + 1\left( {y - 0} \right) + 4\left( {z - 0} \right) = 0\\
\Leftrightarrow 2x + y + 4z = 0
\end{array}\)
Rõ ràng M1, M2 ∉ (α). Vậy (α) chính là mặt phẳng cần tìm.
c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2 là:
\(\begin{array}{l}
d = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_2}{M_1}} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}}\\
= \frac{{168}}{{\sqrt {{8^2} + {4^2} + {{16}^2}} }} = 2\sqrt {21}
\end{array}\)
d) Giả sử PQ là đường vuông góc chung của d1 và d2 với P ∈ d1; Q ∈ d2.
Khi đó ta có các giá trị t và t’ sao cho: P(8 + t; 5 + 2t; 8 − t), Q(3 − 7t′;1 + 2t′; 1 + 3t′)
Ta có: \(\overrightarrow {PQ} = \left( { - 5 - 7t' - t; - 4 + 2t' - 2t; - 7 + 3t' + t} \right)\)
\(\overrightarrow {PQ} \) đồng thời vuông góc với hai vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \) nên
\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\overrightarrow {PQ} .\overrightarrow {{u_1}} = 0}\\
{\overrightarrow {PQ} .\overrightarrow {{u_2}} = 0}
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
- 5 - 7t\prime - t + 2( - 4 + 2t\prime - 2t)\\
- ( - 7 + 3t\prime + t) = 0
\end{array}\\
\begin{array}{l}
- 7( - 5 - 7t\prime - t) + 2( - 4 + 2t\prime - 2t)\\
+ 3( - 7 + 3t\prime + t) = 0
\end{array}
\end{array}} \right.
\end{array}\\
{ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{ - 6t\prime - 6t = 6}\\
{62t\prime + 6t = - 6}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t\prime = 0}\\
{t = - 1}
\end{array}} \right.}
\end{array}\)
Vậy P(7; 3; 9), Q(3; 1; 1) và do đó, đường vuông góc chung của d1 và d2 có phương trình:
\(\begin{array}{l}
\frac{{x - 3}}{{7 - 3}} = \frac{{y - 1}}{{3 - 1}} = \frac{{z - 1}}{{9 - 1}}\\
\Leftrightarrow \frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 1}}{4}
\end{array}\)
-- Mod Toán 12
Bạn có biết?
Toán học là ngành nghiên cứu trừu tượng về những chủ đề như: lượng (các con số), cấu trúc, không gian, và sự thay đổi.Các nhà toán học và triết học có nhiều quan điểm khác nhau về định nghĩa và phạm vi của toán học
Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thưTâm sự Lớp 12
Lớp 12 - Năm cuối ở cấp tiểu học, năm học quan trọng nhất trong đời học sinh trải qua bao năm học tập, bao nhiêu kì vọng của người thân xung quanh ta. Những nỗi lo về thi đại học và định hướng tương lai thật là nặng. Hãy tin vào bản thân là mình sẽ làm được rồi tương lai mới chờ đợi các em!
Nguồn : ADMIN :))Copyright © 2021 HOCTAPSGK
