Bài tập 8 trang 100 SGK Hình học 12
Bài tập 8 trang 100 SGK Hình học 12
Trong không gian Oxyz cho các điểm A(1; 0; -1), B(3; 4; -2), C(4;-1;1), D(3; 0 ;3)
a) Chứng minh rằng A, B, C, D không đồng phẳng.
b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) và tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (ABC).
c) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
d) Tính thể tích tứ diện ABCD.
Phương pháp:
Câu a: Bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng khi: \(\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} \ne 0.\)
Câu b: Mặt phẳng (ABC) sẽ có VTPT là: \(\overrightarrow n = k.\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right](k \ne 0).\)
Câu c: Gọi (S) là phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, thì phương trình (S) có dạng: \(x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0\), điều kiện \(a^2+b^2+c^2-d> 0\). (*)
Thay tọa độ 4 đỉnh vào (*) và giải hệ phương trình ta được giá trị của A, B, C, D.
Câu d: Thể tích tứ diện A, B, C, D được tính bằng công thức: \(V = \frac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right|\)
Lời giải:
Lời giải chi tiết câu a, b, c, d bài 8 như sau:
Câu a:
Ta có: \(\overrightarrow{AB}=(2;4;-1), \overrightarrow{AC}=(3;-1;2), \overrightarrow{AD}=(2;0;4)\)
Ta có: \(\left [ \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right ] = (7;-7;-14)\)
\(\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} = 2.7 + 4( - 14) = - 42 \ne 0.\)
Vậy A, B, C, D không đồng phẳng.
Câu b:
Mp(ABC) đi qua A có vecto pháp tuyến \(\vec{n}=(1;-1;-2)\)
Vậy (ABC) có phương trình là:
\(1(x-1)-1(y-0)-2(z+1)=0\Leftrightarrow x-y-2z-3=0\)
Khoảng cách từ D đến mặt phẳng (ABC) là:
\(d(D,(ABC))=\frac{\left | 3-6-3 \right |}{\sqrt{1+1+4}}=\sqrt{6}\)
Câu c:
Gọi (S) là phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Giả sử phương trình (S) có dạng: \(x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0\), điều kiện \(a^2+b^2+c^2-d> 0\). (*).
Do (S) đi qua 4 điểm A, B, C, D nên ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l} 2 - 2a + 2c + d = 0\\ 29 - 6a - 8b + 4c + d = 0\\ 18 - 8a + 2b - 2c + d = 0\\ 18 - 6a - 6c + d = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4a + 8c = 16\\ - 8b + 10c = - 11\\ - 2a + 2b - 4c = 0\\ d = 6a + 6c - 18 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 3\\ b = 2\\ c = \frac{1}{2}\\ d = 3 \end{array} \right.\)
Ta có: \(a^2+b^2+c^2-d=\frac{41}{4}> 0\).
Vậy phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là:
\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x - 4y - z + 3 = 0.\)
Câu d:
Thể tích tứ diện ABCD là: \(V = \frac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right| = \frac{1}{6}\left| { - 42} \right| = 7.\)
-- Mod Toán 12
Bạn có biết?
Toán học là ngành nghiên cứu trừu tượng về những chủ đề như: lượng (các con số), cấu trúc, không gian, và sự thay đổi.Các nhà toán học và triết học có nhiều quan điểm khác nhau về định nghĩa và phạm vi của toán học
Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thưTâm sự Lớp 12
Lớp 12 - Năm cuối ở cấp tiểu học, năm học quan trọng nhất trong đời học sinh trải qua bao năm học tập, bao nhiêu kì vọng của người thân xung quanh ta. Những nỗi lo về thi đại học và định hướng tương lai thật là nặng. Hãy tin vào bản thân là mình sẽ làm được rồi tương lai mới chờ đợi các em!
Nguồn : ADMIN :))Copyright © 2021 HOCTAPSGK