Cho mặt cầu (S) có phương trình (x – 3)² + (y + 2)² + (z – 1)² = 100 và mặt phẳng \((\alpha )\) có phương trình 2x – 2y – z + 9 = 0. Mp \((\alpha )\) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C). Hãy xác định tọa độ tâm và tính bán kính của đường tròn (C).

Phương pháp:

Trước khi giải bài 5, ta ôn lại vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu đã học ở chương 2 Hình học 12:

Cho mặt cầu S(O;r) tâm O bán kính r và mặt phẳng (P); H là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng (P).

Khi đó h=OH là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (P).

Nếu h=r thì (P) tiếp xúc mặt cầu.

Ghi nhớ: Điều kiện cần và đủ để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu S(O;r) tại điểm H là (P) vuông góc với bán kính OH tại điểm H đó.

Nếu h>r thì (P) không có điểm chung với mặt cầu.

Nếu h < r thì (P) cắt mặt cầu S(O;r) theo giao tuyến là một đường tròn tâm H bán kính \(r' = \sqrt {{r^2} - {h^2}} .\)

Lời giải:

Lời giải chi tiết bài 5 như sau:

Mặt cầu (S) có tâm là I(3;-2;1) và có bán kính R = 10.

\(d(I,(\alpha ))=\frac{\left | 2.3+2.2-1+9 \right |}{\sqrt{2^2+2^2+1^2}}=6\)

Ta có: \(d(I,(\alpha ))=6< 10\), suy ra mặt phẳng \((\alpha )\) cắt (S) theo một đường tròn (C) chính là hình chiếu vuông góc của I trên mặt phẳng \((\alpha )\).

Mặt phẳng \((\alpha )\) có VTPT \(\overrightarrow n = \left( {2; - 2; - 1} \right)\).

Gọi \(\Delta\) là đường thẳng đi qua I(3;-2;1) và vuông góc với \((\alpha )\) suy ra \(\Delta\) nhận \(\overrightarrow n = \left( {2; - 2; - 1} \right)\) làm VTCP:

Vậy phương trình tham số của \(\Delta\) là: \(\left\{\begin{matrix} x=3+2t\\ y=-2-2t\\ z=1-t \end{matrix}\right.\)

\(\Delta\) cắt \((\alpha )\) tại J(3+2t; -2-2t; 1-t). Vì \(J\in (\alpha )\) nên ta có:

\(2(3+2t) -2(-2-2t) - (1-t)+9=0\Leftrightarrow 9t+18=0\Leftrightarrow t=-2\)

Vậy ta được J(-1; 2; 3)

Bán kính r của (C) được tính theo công thức:

\(r=\sqrt{R^2-d^2(I,(\alpha ))}=\sqrt{100-36}=8\)

Vậy đường tròn (C) có tâm J(-1; 2; 3) và bán kính r = 8.

-- Mod Toán 12

Bạn có biết?

Toán học là ngành nghiên cứu trừu tượng về những chủ đề như: lượng (các con số), cấu trúc, không gian, và sự thay đổi.Các nhà toán học và triết học có nhiều quan điểm khác nhau về định nghĩa và phạm vi của toán học

Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thư

Tâm sự Lớp 12

Lớp 12 - Năm cuối ở cấp tiểu học, năm học quan trọng nhất trong đời học sinh trải qua bao năm học tập, bao nhiêu kì vọng của người thân xung quanh ta. Những nỗi lo về thi đại học và định hướng tương lai thật là nặng. Hãy tin vào bản thân là mình sẽ làm được rồi tương lai mới chờ đợi các em!

Nguồn : ADMIN :))

Tiểu học Lớp 6 Lớp 7 Lớp 8 Lớp 9 Lớp 10 Lớp 11 Lớp 12 Hóa học Tài liệu Đề thi & kiểm tra Câu hỏi Đọc truyện chữ Nghe truyện audio Công thức nấu ăn Hỏi nhanh

Liên hệ hợp tác hoặc quảng cáo: gmail

Điều khoản dịch vụ