Trang chủ Lớp 12 Toán Lớp 12 SGK Cũ Chương 3: Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian Bài tập 3.67 trang 134 SBT Toán 12

Bài tập 3.67 trang 134 SBT Toán 12

Lý thuyết Bài tập
Câu hỏi:

Bài tập 3.67 trang 134 SBT Toán 12

Cho mặt phẳng (P):  2x – 3y  + 4z – 5 = 0 và mặt cầu (S):

x2 + y2 + z2 + 3x + 4y – 5z + 6 = 0

a) Xác định tọa độ tâm I và bán kính r của mặt cầu (S).

b) Tính khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P). Từ đó chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn mà ta kí hiệu là (C). Xác định bán kính r’ và tâm H của đường tròn (C).

a) (S) có tâm \(I( - \frac{3}{2}; - 2;\frac{5}{2})\) và có bán kính \(r = \sqrt {\frac{9}{4} + 4 + \frac{{25}}{4} - 6}  = \frac{{\sqrt {26} }}{2}\)

b) 

\(\begin{array}{l}
d(I,(P)) = \frac{{|2.( - \frac{3}{2}) - 3.( - 2) + 4.(\frac{5}{2}) - 5|}}{{\sqrt {4 + 9 + 16} }}\\
 = \frac{8}{{\sqrt {29} }} < \frac{{\sqrt {26} }}{2}
\end{array}\)

Vậy  d(I, (P)) < r

Suy ra mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn tâm H bán kính r’.

H chính là hình chiếu vuông góc của I xuống mặt phẳng (P). Gọi Δ là đường thẳng qua I và vuông góc với (P). Ta có vecto chỉ phương của Δ là

\(\overrightarrow {{a_{\rm{\Delta }}}}  = \overrightarrow {{n_{(P)}}}  = (2; - 3;4)\)

 Phương trình tham số của Δ : 

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x =  - \frac{3}{2} + 2t}\\
{y =  - 2 - 3t}\\
{z = \frac{5}{2} + 4t}
\end{array}} \right.\)

 Δ cắt (P) tại \(H( - \frac{3}{2} + 2t; - 2 - 3t;\frac{5}{2} + 4t)\). 

Ta có:

\(\begin{array}{l}
H \in (\alpha ) \Leftrightarrow 2( - \frac{3}{2} + 2t)\\
 - 3( - 2 - 3t) + 4(\frac{5}{2} + 4t) - 5 = 0\\
 \Leftrightarrow 29t + 8 = 0 \Leftrightarrow t =  - \frac{8}{{29}}
\end{array}\)

Suy ra tọa độ \(H( - \frac{3}{2} - \frac{{16}}{{29}}; - 2 + \frac{{24}}{{29}};\frac{5}{2} - \frac{{32}}{{29}})\) hay 

Ta có:

\(\begin{array}{l}
r{'^2} = {r^2} - {d^2}(I,(P))\\
 = \frac{{26}}{4} - \frac{{64}}{{29}} = \frac{{249}}{{58}}
\end{array}\).

Suy ra \(r' = \sqrt {\frac{{249}}{{58}}} \).

 

-- Mod Toán 12

Bạn có biết?

Toán học là ngành nghiên cứu trừu tượng về những chủ đề như: lượng (các con số), cấu trúc, không gian, và sự thay đổi.Các nhà toán học và triết học có nhiều quan điểm khác nhau về định nghĩa và phạm vi của toán học

Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thư

Tâm sự Lớp 12

Lớp 12 - Năm cuối ở cấp tiểu học, năm học quan trọng nhất trong đời học sinh trải qua bao năm học tập, bao nhiêu kì vọng của người thân xung quanh ta. Những nỗi lo về thi đại học và định hướng tương lai thật là nặng. Hãy tin vào bản thân là mình sẽ làm được rồi tương lai mới chờ đợi các em!

Nguồn : ADMIN :))
Home
Tiểu học Lớp 6 Lớp 7 Lớp 8 Lớp 9 Lớp 10 Lớp 11 Lớp 12 Hóa học Tài liệu Đề thi & kiểm tra Câu hỏi Đọc truyện chữ Nghe truyện audio Công thức nấu ăn Hỏi nhanh

Liên hệ hợp tác hoặc quảng cáo: gmail

Điều khoản dịch vụ

Copyright © 2021 HOCTAPSGK