Bài tập 15 trang 89 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 15 trang 89 SGK Hình học 12 NC
Trong mỗi trường hợp sau, viết phương trình mặt phẳng:
a) Đi qua ba điểm M(2; 0; −1); N(1; −2; 3); P(0; 1; 2)
b) Đi qua hai điểm A(1; 1; −1); B(5; 2; 1) và song song với trục Oz ;
c) Đi qua điểm (3; 2; -1) và song song với mặt phẳng có phương trình x –5y + z = 0;
d) Đi qua hai điểm A(0 ; 1 ; 1), B(- 1 ; 0 ; 2) và vuông góc với mặt phẳng x – y + z – 1 = 0 ;
e) Đi qua điểm M(a ; b ; c) (với abc ≠ 0) và song song với một mặt phẳng toạ độ ;
g) Đi qua điểm G(1 ; 2 ; 3) và cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B, C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC ;
h) Đi qua điểm H(2 ; 1 ; 1) và cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B, C sao cho H là trực tâm của tam giác ABC.
a) Ta có: \(\overrightarrow {MN} = \left( { - 1; - 2;4} \right),\overrightarrow {MP} = \left( { - 2;1;3} \right)\)
\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} } \right] = \left( { - 10; - 5; - 5} \right) = - 5\left( {2;1;1} \right)\)
Chọn vectơ pháp tuyến của mp(MNP) là \(\overrightarrow n = (2;1;1)\).
Mp(MNP) đi qua M(2; 0; −1) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = (2;1;1)\) nên có phương trình là:
\(\begin{array}{l}
2(x - 2) + 1(y - 0) + 1(z + 1) = 0\\
\Leftrightarrow 2x + y + z - 3 = 0
\end{array}\)
b) Mp(P) đi qua A, B và song song với trục Oz có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \) vuông góc với \(\overrightarrow {AB} = (4;1;2)\) và vuông góc với \(\vec k = \left( {0;0;1} \right)\) nên:
\(\begin{array}{l}
\vec n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\vec k} \right]\\
= \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&2\\
0&1
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2&4\\
1&0
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
4&1\\
0&0
\end{array}} \right|} \right) = \left( {1; - 4;0} \right)
\end{array}\)
(P) qua A(1;1;−1) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = (1; - 4;0)\) nên (P) có phương trình:
\(\begin{array}{l}
1(x - 1) - 4(y - 1) + 0(z + 1) = 0\\
\Leftrightarrow x - 4y + 3 = 0
\end{array}\)
c) Mặt phẳng (α): x − 5y + z = 0 có vectơ pháp tuyến \(\vec n = \left( {1; - 5;1} \right)\)
Mp(β) qua A(3; 2; −1) song song với mp(α) nên (β) có cùng vectơ pháp tuyến .
Do đó: \(\left( \beta \right):(x - 3) - 5(y - 2) + (z + 1) = 0 \Leftrightarrow x - 5y + z + 8 = 0\)
d) Ta có: \(\overrightarrow {AB} = ( - 1; - 1;1)\)
Mp(α): x − y + z + 1 = 0 có vectơ pháp tuyến \(\vec m = \left( {1; - 1;1} \right)\)
Mp(β) đi qua A, B và vuông góc với mp(α) nên vectơ pháp tuyến của (β) vuông góc với \(\overrightarrow {AB} \) và vuông góc với \(\overrightarrow m \) nên ta có thể chọn:
\(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow m } \right] = (0;2;2)\)
Vậy (P): 2(y−1) + 2(z−1) = 0 ⇔ y + z − 2 = 0
e) Mặt phẳng đi qua M(a, b, c) song song với mp(Oxy) có vectơ pháp tuyến là \(\vec k = \left( {0;0;1} \right)\) nên có phương trình: 1(z − c) = 0 ⇔ z − c = 0
Tương tự mặt phẳng đi qua M(a, b, c) song song với mp(Oyz) có phương trình x – a = 0; mặt phẳng đi qua M(a, b, c) song song với mp(Oxz) có phương trình y – b = 0.
g) Giả sử A(a; 0; 0), B(0, b, 0), C(0, 0, c).
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên:
\(\begin{array}{l}
\frac{{a + 0 + 0}}{3} = 1;\frac{{0 + b + 0}}{3} = 2;\\
\frac{{0 + 0 + c}}{3} = 3\\
\Rightarrow a = 3;b = 6;c = 9
\end{array}\)
Vậy mp(ABC): \(\frac{x}{3} + \frac{y}{6} + \frac{z}{9} = 1\)
h) Tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc nên H là trực tâm ΔABC khi và chỉ khi OH ⊥ mp(ABC).
Vậy mp(ABC) đi qua H va có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {OH} = (2;1;1)\) nên có phương trình
2(x−2) + (y−1) + (z−1) = 0 ⇔ 2x + y + z − 6 = 0
-- Mod Toán 12
Bạn có biết?
Toán học là ngành nghiên cứu trừu tượng về những chủ đề như: lượng (các con số), cấu trúc, không gian, và sự thay đổi.Các nhà toán học và triết học có nhiều quan điểm khác nhau về định nghĩa và phạm vi của toán học
Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thưTâm sự Lớp 12
Lớp 12 - Năm cuối ở cấp tiểu học, năm học quan trọng nhất trong đời học sinh trải qua bao năm học tập, bao nhiêu kì vọng của người thân xung quanh ta. Những nỗi lo về thi đại học và định hướng tương lai thật là nặng. Hãy tin vào bản thân là mình sẽ làm được rồi tương lai mới chờ đợi các em!
Nguồn : ADMIN :))Copyright © 2021 HOCTAPSGK
