Bài tập 11 trang 81 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 11 trang 81 SGK Hình học 12 NC
Cho bốn điểm A(1 ; 0 ; 0), B(0 ; 1 ; 0), C(0 ; 0 ; 1) và D(-2 ; 1 ; -2).
a) Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn đỉnh của một hình tứ diện.
b) Tính góc giữa các đường thẳng chứa các cạnh đối của tứ diện đó.
c) Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao của tứ diện kẻ từ đỉnh A
a) Ta có:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
\overrightarrow {AB} = ( - 1;1;0),\overrightarrow {AC} = ( - 1;0;1),\\
\overrightarrow {AD} = ( - 3;1; - 2)
\end{array}\\
\begin{array}{l}
\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&0\\
0&1
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
0&{ - 1}\\
1&{ - 1}
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}&1\\
{ - 1}&0
\end{array}} \right|} \right)\\
= \left( { - 3;1; - 2} \right)
\end{array}\\
{ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} = - 3.1 + 1.1 - 2.1 = - 4 \ne 0}
\end{array}\)
Do đó 3 vecto \(\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {AD} \) không đồng phẳng. Vậy A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện.
b) Ta có:
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {CD} = \left( { - 2;1; - 3} \right),\overrightarrow {BD} = \left( { - 2;0; - 2} \right),\\
\overrightarrow {BC} = \left( {0; - 1;1} \right)
\end{array}\)
Gọi α, β, γ lần lượt là góc tạo bởi các cặp đường thẳng AB và CD, AC và BD, AD và BC thì
\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
\cos \alpha = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {AD} ;\overrightarrow {CD} } \right)} \right|\\
= \frac{{|2 + 1 + 0|}}{{\sqrt 2 .\sqrt {14} }} = \frac{{3\sqrt 7 }}{{14}}
\end{array}\\
\begin{array}{l}
\cos \beta = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {BD} } \right)} \right|\\
= \frac{{|2 + 0 - 2|}}{{\sqrt 2 .\sqrt 8 }} = 0 \Rightarrow AC \bot BD
\end{array}\\
\begin{array}{l}
\cos \gamma = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {AD} ;\overrightarrow {BC} } \right)} \right|\\
= \frac{{|0 - 1 - 2|}}{{\sqrt 2 .\sqrt {14} }} = \frac{{3\sqrt 7 }}{{14}}
\end{array}
\end{array}\)
c) Thể tích của tứ diện ABCD là:
\(V = \frac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right| = \frac{1}{6}| - 4| = \frac{2}{3}\)
Gọi hA là đường cao của tứ diện kẻ từ đỉnh A.
Ta có:
\(\begin{array}{l}
V = \frac{1}{3}{h_A}.{S_{BCD}} \Rightarrow {h_A} = \frac{{3V}}{{{S_{BCD}}}}\\
{S_{BCD}} = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {BD} } \right]} \right| = \sqrt 3 \\
\Rightarrow {h_A} = \frac{{3.\frac{2}{3}}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}
\end{array}\)
-- Mod Toán 12
Bạn có biết?
Toán học là ngành nghiên cứu trừu tượng về những chủ đề như: lượng (các con số), cấu trúc, không gian, và sự thay đổi.Các nhà toán học và triết học có nhiều quan điểm khác nhau về định nghĩa và phạm vi của toán học
Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thưTâm sự Lớp 12
Lớp 12 - Năm cuối ở cấp tiểu học, năm học quan trọng nhất trong đời học sinh trải qua bao năm học tập, bao nhiêu kì vọng của người thân xung quanh ta. Những nỗi lo về thi đại học và định hướng tương lai thật là nặng. Hãy tin vào bản thân là mình sẽ làm được rồi tương lai mới chờ đợi các em!
Nguồn : ADMIN :))Copyright © 2021 HOCTAPSGK
