Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy là \(\Delta ABC\) với \(AB = 2a,AC = a,\widehat {BAC} = 120^\circ \). Góc giữa \(\left( {A'BC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) bằng \(...
Câu hỏi :
Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy là \(\Delta ABC\) với \(AB = 2a,AC = a,\widehat {BAC} = 120^\circ \). Góc giữa \(\left( {A'BC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) bằng \(45^\circ \). Tính thể tích của khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\)
A. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 7 }}{7}\)
B. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 7 }}{{14}}\)
C. \(\dfrac{{3{a^3}\sqrt 7 }}{7}\)
D. \(\dfrac{{3{a^3}\sqrt 7 }}{{14}}\)
* Đáp án
D
* Hướng dẫn giải
.png)
Qua \(A\) kẻ \(AH \bot BC\left( {H \in BC} \right)\) (1)
\(ABC.A'B'C'\) là lăng trụ đứng nên \(AA' \bot \left( {ABC} \right) \Leftrightarrow AA' \bot BC\) (2)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(BC \bot \left( {AHA'} \right) \Rightarrow BC \bot A'H\)
Ta có :
\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {ABC} \right) \cap \left( {A'BC} \right) = BC\\A'H \bot BC,AH \bot BC\\A'H \subset \left( {A'BC} \right),AH \subset \left( {ABC} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \widehat {\left( {A'BC} \right),\left( {ABC} \right)}\) \( = \widehat {A'H,AH} = \widehat {A'HA} = 45^\circ \)
Do đó tam giác \(A'HA\) vuông cân tại \(A\)
Tam giác \(ABC\) có \(AB = 2a,AC = a,\widehat {BAC} = 120^\circ \) nên ta có :
\(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2} - 2\cos BAC.AB.AC} = \sqrt 7 a\)
\({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC.\sin BAC = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}{a^2}\)
Do đó \(AH = \dfrac{{2{S_{ABC}}}}{{BC}} = \dfrac{{\sqrt {21} }}{7}\)
Tam giác \(AHA'\) vuông cân tại \(A\) nên \(AA' = AH = \dfrac{{\sqrt {21} a}}{7}\)
Do đó, thể tích của khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) là \(V = AA'.{S_{ABC}} = \dfrac{{\sqrt {21} }}{7}a.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}{a^2} = \dfrac{{3\sqrt 7 }}{{14}}{a^3}\)
Chọn D
Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm dưới đây !
Đề thi HK1 môn Toán 12 năm 2021-2022 Trường THPT Mai Thúc Loan
Bạn có biết?
Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các phép biến đổi. Nói một cách khác, người ta cho rằng đó là môn học về "hình và số". Theo quan điểm chính thống neonics, nó là môn học nghiên cứu về các cấu trúc trừu tượng định nghĩa từ các tiên đề, bằng cách sử dụng luận lý học (lôgic) và ký hiệu toán học. Các quan điểm khác của nó được miêu tả trong triết học toán. Do khả năng ứng dụng rộng rãi trong nhiều khoa học, toán học được mệnh danh là "ngôn ngữ của vũ trụ".
Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thưTâm sự Lớp 12
Lớp 12 - Năm cuối ở cấp tiểu học, năm học quan trọng nhất trong đời học sinh trải qua bao năm học tập, bao nhiêu kì vọng của người thân xung quanh ta. Những nỗi lo về thi đại học và định hướng tương lai thật là nặng. Hãy tin vào bản thân là mình sẽ làm được rồi tương lai mới chờ đợi các em!
Nguồn : ADMIN :))Copyright © 2021 HOCTAPSGK