Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \((S):{{(x-1)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}+{{(z-1)}^{2}}=6\) tâm I. Gọi \((\alpha )\) là mặt phẳng vuông góc với đường thẳng \(d:\frac{x+1}{1}=\frac{y-3}{...
Câu hỏi :
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \((S):{{(x-1)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}+{{(z-1)}^{2}}=6\) tâm I. Gọi \((\alpha )\) là mặt phẳng vuông góc với đường thẳng \(d:\frac{x+1}{1}=\frac{y-3}{-4}=\frac{z}{1}\) và cắt mặt cầu (S) theo đường tròn (C) sao cho khối nón có đỉnh I, đáy là đường tròn (C) có thể tích lớn nhất. Biết \((\alpha )\) không đi qua gốc tọa độ, gọi \(H({{x}_{H}},{{y}_{H}},{{z}_{H}})\) là tâm của đường tròn (C). Giá trị của biểu thức \(T={{x}_{H}}+{{y}_{H}}+{{z}_{H}}\) bằng
A. \(\frac{1}{3}\)
B. \(\frac{4}{3}\)
C. \(\frac{2}{3}\)
D. \(\frac{-1}{2}\)
* Đáp án
A
* Hướng dẫn giải
Mặt cầu (S) có tâm I(1;-1;1), bán kính \(R=\sqrt{6}\)
Gọi x là khoảng cách từ I đến mặt phẳng \((\alpha ), 0<x<\sqrt{6}\). Khi đó, thể tích khối nón đỉnh I, đáy là đường tròn (C) là: \(V=\frac{1}{3}x\left( 6-{{x}^{2}} \right)=-\frac{{{x}^{3}}}{3}+2x\)
Xét hàm số \(f(x)=-\frac{{{x}^{3}}}{3}+2x,\,\,\) với \(0<x<\sqrt{6}\)
\(f'(x)=-{{x}^{2}}+2;\,\,f'(x)=0\,\Leftrightarrow \,x=\pm \sqrt{2}\)
Hàm số y=f(x) liên tục trên \(\left[ 0;\sqrt{6} \right]\), có \(f(0)=f(\sqrt{6})=0,\,\,f(\sqrt{2})=\sqrt{2}\),
nên \(\underset{{}}{\mathop{\underset{\left( 0;\sqrt{6} \right)}{\mathop{Max}}\,\,f(x)}}\,=\sqrt{2}\), đạt được khi \(x=\sqrt{2}\).
Gọi \(\overrightarrow{u}=(1;-4;1)\) là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng d. Vì \(IH\bot (\alpha )\) nên tồn tại số thực k sao cho \(\overrightarrow{IH}=k\overrightarrow{u}\), suy ra \(\left| \overrightarrow{IH} \right|=|k|.\left| \overrightarrow{u} \right|\,\,\Rightarrow \,|k|\,=\,\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{18}}=\frac{1}{3}\,\Rightarrow k\,=\,\pm \frac{1}{3}\).
Với \(k=\frac{1}{3}:\overrightarrow{IH}=\frac{1}{3}\overrightarrow{u}\,\Rightarrow \,H\left( \frac{4}{3};-\frac{7}{3};\frac{4}{3} \right)\Rightarrow (\alpha ):x-4y+z-6=0\) (nhận vì \(O\notin (\alpha )\) )
Với \(k=-\frac{1}{3}:\overrightarrow{IH}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{u}\,\Rightarrow \,H\left( \frac{2}{3};\frac{1}{3};\frac{2}{3} \right)\Rightarrow (\alpha ):x-4y+z=0\) ( loại vì \(O\in (\alpha )\) ).
Vậy \({{x}_{H}}+{{y}_{H}}+{{z}_{H}}=\frac{1}{3}\)
Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm dưới đây !
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán - Trường THPT Nguyễn Hồng Đào lần 2
Bạn có biết?
Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các phép biến đổi. Nói một cách khác, người ta cho rằng đó là môn học về "hình và số". Theo quan điểm chính thống neonics, nó là môn học nghiên cứu về các cấu trúc trừu tượng định nghĩa từ các tiên đề, bằng cách sử dụng luận lý học (lôgic) và ký hiệu toán học. Các quan điểm khác của nó được miêu tả trong triết học toán. Do khả năng ứng dụng rộng rãi trong nhiều khoa học, toán học được mệnh danh là "ngôn ngữ của vũ trụ".
Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thưTâm sự Lớp 12
Lớp 12 - Năm cuối ở cấp tiểu học, năm học quan trọng nhất trong đời học sinh trải qua bao năm học tập, bao nhiêu kì vọng của người thân xung quanh ta. Những nỗi lo về thi đại học và định hướng tương lai thật là nặng. Hãy tin vào bản thân là mình sẽ làm được rồi tương lai mới chờ đợi các em!
Nguồn : ADMIN :))Copyright © 2021 HOCTAPSGK