Cho hình chóp S.ABC có mỗi mặt bên là một tam giác vuông và \(SA = SB = SC = a\).

Câu hỏi :

Cho hình chóp S.ABC có mỗi mặt bên là một tam giác vuông và \(SA = SB = SC = a\). Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC; D là điểm đối xứng của S qua P. I là giao điểm của đường thẳng AD với mặt phẳng (SMN). Tính theo a thể tích của khối tứ diện MBSI.

A. \(\frac{{{a^3}}}{{12}}.\)

B. \(\frac{{{a^3}}}{{36}}.\)

C. \(\frac{{{a^3}}}{6}.\)

D. \(\frac{{{a^3}}}{6}.\)

* Đáp án

B

* Hướng dẫn giải

Do \(SA = SB = SC = a\) nên các tam giác SAB, SBC, SCA vuông tại S.

\( \Rightarrow SA,SB,SC\) đôi một vuông góc.

Thể tích khối tứ diện vuông S.ABC là: \(V = \frac{1}{6}.SA.SB.SC = \frac{{{a^3}}}{6}\) 

Gọi J là giao điểm của MN và AP, I là giao điểm của SJ và AD. Khi đó,

\(I = AD \cap \left( {SMN} \right)\) (do \(SI \subset \left( {SMN} \right)\))

\(\Delta ASD\) có: P là trung điểm của SD, J là trung điểm của AP.

Xét tam giác vuông SBC có \(SP = \frac{1}{2}BC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow AP = \sqrt {S{A^2} + S{P^2}}  = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\) 

\( \Rightarrow SJ = \frac{1}{2}AP = \frac{{a\sqrt 6 }}{4}\) 

Ta có: \(SD = 2SP = a\sqrt 2  \Rightarrow AD = a\sqrt 3  \Rightarrow \cos \angle SDA = \frac{{SD}}{{AD}} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\).

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác APD ta có:

\(\frac{{JA}}{{JP}}.\frac{{SP}}{{SD}}.\frac{{ID}}{{IA}} = 1 \Leftrightarrow 1.\frac{1}{2}.\frac{{ID}}{{IA}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{ID}}{{IA}} = 2 \Leftrightarrow ID = \frac{2}{3}AD = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\) 

Áp dụng định lí Cosin trong tam giác SID ta có:

\(\begin{array}{l}
S{I^2} = S{D^2} + D{I^2} - 2SD.DI.cos\angle SDA\\
 = 2{a^2} + \frac{4}{3}{a^2} - 2.a\sqrt 2 .\frac{{2a\sqrt 3 }}{3}.\frac{{\sqrt 6 }}{3} = \frac{{2{a^2}}}{3}\\
 \Rightarrow SI = \frac{{a\sqrt 6 }}{3} \Rightarrow \frac{{SJ}}{{SI}} = \frac{3}{4}
\end{array}\) 

Dễ dàng chứng minh được: \(SJ = \frac{3}{4}SI \Rightarrow {S_{\Delta SJB}} = \frac{3}{4}{S_{\Delta SIB}} \Rightarrow {V_{M.SJB}} = \frac{3}{4}{V_{M.SIB}}\) hay \( \Rightarrow {V_{M.SIB}} = \frac{4}{3}{V_{M.SJB}}\) 

Lại có: \({S_{\Delta MJB}} = \frac{1}{2}{S_{\Delta AJB}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}{S_{\Delta APB}} = \frac{1}{8}{S_{\Delta ABC}}\) 

\( \Rightarrow {V_{M.SJB}} = \frac{1}{8}{V_{S.ABC}} \Rightarrow {V_{M.SIB}} = \frac{4}{3}.\frac{1}{8}{V_{S.ABC}} = \frac{1}{6}{V_{S.ABC}} = \frac{1}{6}.\frac{1}{6}{a^3} = \frac{1}{{36}}{a^3}\).

Bạn có biết?

Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các phép biến đổi. Nói một cách khác, người ta cho rằng đó là môn học về "hình và số". Theo quan điểm chính thống neonics, nó là môn học nghiên cứu về các cấu trúc trừu tượng định nghĩa từ các tiên đề, bằng cách sử dụng luận lý học (lôgic) và ký hiệu toán học. Các quan điểm khác của nó được miêu tả trong triết học toán. Do khả năng ứng dụng rộng rãi trong nhiều khoa học, toán học được mệnh danh là "ngôn ngữ của vũ trụ".

Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thư

Tâm sự Lớp 12

Lớp 12 - Năm cuối ở cấp tiểu học, năm học quan trọng nhất trong đời học sinh trải qua bao năm học tập, bao nhiêu kì vọng của người thân xung quanh ta. Những nỗi lo về thi đại học và định hướng tương lai thật là nặng. Hãy tin vào bản thân là mình sẽ làm được rồi tương lai mới chờ đợi các em!

Nguồn : ADMIN :))

Liên hệ hợp tác hoặc quảng cáo: gmail

Điều khoản dịch vụ

Copyright © 2021 HOCTAPSGK