Cho mặt cầu tâm O và tam giác ABC có ba đỉnh nằm trên mặt cầu với góc \(\angle BAC = {30^0}\) và BA = a.
Câu hỏi :
Cho mặt cầu tâm O và tam giác ABC có ba đỉnh nằm trên mặt cầu với góc \(\angle BAC = {30^0}\) và BA = a. Gọi S là điểm nằm trên mặt cầu, không thuộc mặt phẳng (ABC) và thỏa mãn SA = SB = SC, góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) bằng \(60^0\). Tính thể tích V của khối cầu tâm O theo a.
A. \(V = \frac{{\sqrt 3 }}{9}.\pi {a^3}\)
B. \(V = \frac{{32\sqrt 3 }}{{27}}.\pi {a^3}\)
C. \(V = \frac{{4\sqrt 3 }}{{27}}.\pi {a^3}\)
D. \(V = \frac{{15\sqrt 3 }}{{27}}.\pi {a^3}\)
* Đáp án
B
* Hướng dẫn giải
Theo đề bài ta có: SA = SB = SC suy ra hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên (ABC) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp \(\Delta ABC \Rightarrow SI \bot (ABC).\)
\( \Rightarrow O \in SI\) hay S, I, O thẳng hàng.
.png)
Ta có: \(\angle \left( {SA;(ABC)} \right) = \angle (SA;AI) = \angle SAI = {60^0}\)
Kẻ \(OM \bot SA \Rightarrow \Delta SMO \sim \Delta SAI\left( {g - g} \right)\)
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow \frac{{SO}}{{SA}} = \frac{{SM}}{{SI}} \Rightarrow SO = \frac{{SM.SA}}{{SI}} = \frac{{S{A^2}}}{{2SI}} = \frac{{S{A^2}}}{{2\frac{{SA\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{SA\sqrt 3 }}{3} = R.\\
\Rightarrow OI = SI - OI = \frac{{SA\sqrt 3 }}{2} - \frac{{SA\sqrt 3 }}{3} = \frac{{SA\sqrt 3 }}{6}\\
\Rightarrow IA = \sqrt {{R^2} - O{I^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{SA\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{SA\sqrt 3 }}{6}} \right)}^2}} = \frac{{SA}}{2} = {R_{ABC}}
\end{array}\)
Với RABC là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Áp dụng định lý hàm số sin trong tam giác ABC ta có:
\(\begin{array}{l}
\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{a}{{\sin {{30}^0}}} = 2{R_{ABC}} = 2a \Leftrightarrow {R_{ABC}} = a.\\
\Rightarrow IA = a \Rightarrow SA = 2{R_{ABC}} = 2a.\\
\Rightarrow R = \frac{{SA\sqrt 3 }}{3} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}.\\
\Rightarrow {V_{cau}} = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}\pi {\left( {\frac{{2a\sqrt 3 }}{3}} \right)^3} = \frac{{32\sqrt 3 \pi {a^3}}}{{27}}.
\end{array}\)
Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm dưới đây !
Đề thi thử THPT QG năm 2019 môn Toán Trường Chuyên Quốc học Huế lần 1
Bạn có biết?
Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các phép biến đổi. Nói một cách khác, người ta cho rằng đó là môn học về "hình và số". Theo quan điểm chính thống neonics, nó là môn học nghiên cứu về các cấu trúc trừu tượng định nghĩa từ các tiên đề, bằng cách sử dụng luận lý học (lôgic) và ký hiệu toán học. Các quan điểm khác của nó được miêu tả trong triết học toán. Do khả năng ứng dụng rộng rãi trong nhiều khoa học, toán học được mệnh danh là "ngôn ngữ của vũ trụ".
Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thưTâm sự Lớp 12
Lớp 12 - Năm cuối ở cấp tiểu học, năm học quan trọng nhất trong đời học sinh trải qua bao năm học tập, bao nhiêu kì vọng của người thân xung quanh ta. Những nỗi lo về thi đại học và định hướng tương lai thật là nặng. Hãy tin vào bản thân là mình sẽ làm được rồi tương lai mới chờ đợi các em!
Nguồn : ADMIN :))Copyright © 2021 HOCTAPSGK