Chương 4: Phương Trình Bậc Hai Một Ẩn

Diện tích S của hình tròn được tính bởi công thức \(S = \pi R^2\), trong đó R là bán kính của hình tròn.

a) Dùng máy tính bỏ túi, tính các giá trị của S rồi điền vào các ô trống trong bảng sau (π ≈ 3,14, làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

b) Nếu bán kính tăng gấp 3 lần thì diện tích tăng hay giảm bao nhiêu lần ?

c) Tính bán kính của hình tròn, làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai, nếu biết diện tích của nó bằng 79,5 cm² .b) Nếu bán kính tăng gấp 3 lần thì diện tích tăng hay giảm bao nhiêu lần ?

Một vật rơi ở độ cao so với mặt đất là 100 m. Quãng đường chuyển động s (mét) của vật rơi phụ thuộc vào thời gian t (giây) bởi công thức \(\small s = 4t^2\)

a) Sau 1 giây, vật này cách mặt đất bao nhiêu mét ? Tương tự, sau 2 giây?

b) Hỏi sau bao lâu vật này tiếp đất?

Lực F của gió khi thổi vuông góc vào cánh buồm tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc v của gió, tức là F = av² (a là hằng số). Biết rằng khi vận tốc gió bằng 2 m/s thì lực tác động lên cánh buồm của một con thuyền bằng 120 N (Niu –tơn).

a) Tính hằng số a.

b) Hỏi khi v = 10 m/s thì lực F bằng bao nhiêu? Cùng câu hỏi này khi v = 20 m/s?

c) Biết rằng cánh buồm chỉ có thể chịu được một áp lực tối đa là 12 000 N, hỏi con thuyền có thể đi được trong gió bão với vận tốc gió 90 km/h hay không ?

Cho hai hàm số: \(y=\frac{3}{2}x^2,y=-\frac{3}{2}x^2\). Điền vào những ô trống của các bảng sau rồi vẽ hai đồ thị trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

Nhận xét về tính đối xứng của hai đồ thị đối với trục Ox.

Cho ba hàm số: \(y=\frac{1}{2}x^2; y = x^2 ; y = 2x^2\)

a) Vẽ đồ thị của ba hàm số này trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

b) Tìm ba điểm A, B, C có cùng hoành độ x = -1,5 theo thứ tự nằm trên ba đồ thị. Xác định tung độ tương ứng của chúng.

c) Tìm ba điểm A', B', C' có cùng hoành độ x = 1,5 theo thứ tự nằm trên ba đồ thị. Kiểm tra tính đối xứng của A và A', B và B', C và C'.

d) Với mỗi hàm số trên, hãy tìm giá trị của x để hàm số đó có giá trị nhỏ nhất.

Cho hàm số \(y = f(x) = x^2\)

a) Vẽ đồ thị của hàm số đó.

b) Tính các giá trị f(-8); f(-1,3); f(-0,75); f(1,5).

c) Dùng đồ thị để ước lượng các giá trị (0,5)²; (-1,5)²; (2,5)².

d) Dùng đồ thị để ước lượng vị trí các điểm trên trục hoành biểu diễn các số \(\sqrt{3};\sqrt{7}\).

Trên mặt phẳng tọa độ (h.10), có một điểm M thuộc đồ thị của hàm số y = ax².

a) Tìm hệ số a

b) Điểm A(4; 4) có thuộc đồ thị không ?

c) Hãy tìm thêm hai điểm nữa (không kể điểm O) để vẽ đồ thị.

Biết rằng đường cong trong hình 11 là một parabol y = ax² 

a) Tìm hệ số a

b) Tìm tung độ của điểm thuộc parabol có hoành độ x = -3

c) Tìm các điểm thuộc parabol có tung độ y = 8

Cho hai hàm số \(y = \frac{1}{3}x^2\) và \(y = -x + 6.\)

a) Vẽ đồ thị của các hàm số này trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

b) Tìm tọa độ các giao điểm của hai đồ thì đó.

Cho hàm số y = -0,75x² . Qua đồ thị của hàm số đó, hãy cho biết khi x tăng từ -2 đến 4 thì giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của y là bao nhiêu?

Đưa các phương trình sau về dạng ax² + bx + c = 0 và chỉ rõ các hệ số a, b, c:

a) \(5x^2 + 2x = 4 - x\)

b) \(\frac{3}{5}x^2 + 2x - 7 = 3x +\frac{1}{2}\) 

c) \(2x^2 + x - \sqrt{3} = \sqrt{3}x + 1\)

d) \(2x^2 + m^2 = 2(m - 1)x, m\) là một hằng số

Giải các phương trình sau:

a) \(x^2 - 8 = 0\)

b) \(5x^2 - 20 = 0\)

c) \(0,4x^2 + 1 = 0\)

d) \(2x^2 + \sqrt{2}x = 0\)

e) \(-0,4x^2 + 1,2x = 0\)

Cho các phương trình:

a) \(x^2 + 8x = -2\)

b) \(x^2 + 2x = \frac{1}{3}\)

Hãy cộng vào hai vế của mỗi phương trình cùng một số thích hợp để được một phương trình mà vế trái thành một bình phương.

Hãy giải phương trình: \(2x^2 + 5x + 2 = 0\). Theo các bước như ví dụ 3 trong bài học.

Không giải phương trinh, hãy xác định các hệ số a, b, c, tính biệt thức ∆ và xác định số nghiệm của mỗi phương trình sau:

a) \(7x^2 - 2x + 3 = 0\)                     

b) \(5x^2 + 2\sqrt{10}x + 2 = 0\)

c) \(\frac{1}{2}x^2 + 7x +\frac{2}{3}=0\)

d) \(1,7x^2 - 1,2x -2,1 = 0\)

Dùng công thức nghiệm của phương trình bậc hai để giải các phương trình sau:

a) \(2x^2 - 7x + 3 = 0\)

b) \(6x^2 + x + 5 = 0\)

c) \(6x^2 + x - 5 = 0\)                             

d) \(3x^2 + 5x + 2 = 0\)

e) \(y^2 - 8y + 16 = 0\)                            

f) \(16z^2 + 24z + 9 = 0\)

Xác định a, b', c rồi dùng công thức nghiệm thu gọn giải các phương trình:

a) \(4x^2 + 4x + 1 = 0\)

b) \(13852x^2 - 14x + 1 = 0\)

c) \(5x^2 - 6x + 1 = 0\)

d) \(-3x^2 + 4\sqrt{6}x + 4 = 0\)

Đưa các phương trình sau về dạng \(ax^2 + 2b'x + c = 0\) và giải chúng. Sau đó, dùng bảng số hoặc máy tính để viết gần đúng nghiệm tìm được (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai):

a) \(3x^2 -2x = x^2 + 3\)

b) \((2x - \sqrt{2})^2 - 1 = (x + 1)(x - 1)\)

c) \(3x^2 + 3 = 2(x + 1)\)

 d) \(0,5x(x + 1) = (x - 1)^2\)

Đố em biết vì sao khi a > 0 và phương trình ax² + bx + c = 0 vô nghiệm thì ax² + bx + c > 0 với mọi giá trị của x?

Giải các phương trình:

a) \(25x^2 - 16 = 0\)

b) \(2x^2 + 3 = 0\)

c) \(4,2x^2 + 5,46x = 0\)

d) \(4x^2 - 2\sqrt{3}x = 1 -\sqrt{ 3}\)

Giải vài phương trình của An Khô-va-ri-zmi (Xem Toán 7, Tập 2, tr.26):

a) \(x^2 = 12x + 288\)

b) \(\frac{1}{12}x^2+\frac{7}{12}x=19\)

Không giải phương trình, hãy cho biết mỗi phương trình sau có bao nhiêu nghiệm:

a) \(15x^2 + 4x - 2005 = 0\)

b) \(-\frac{19}{5}x^2 - \sqrt{7}x + 1890 = 0\)      

Rađa của một máy bay trực thăng theo dõi chuyển động của một ôtô trong 10 phút, phát hiện rằng vận tốc v của ôtô thay đổi phụ thuộc vào thời gian bởi công thức: \(\small v = 3t^2 - 30t + 135\)

(t tính bằng phút, v tính bằng km/h).

a) Tính vận tốc của ôtô khi t = 5 phút.

b) Tính giá trị của t khi vận tốc ôtô bằng 120 km/h (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai)

Cho phương trình (ẩn x) \(x^2 - 2(m - 1)x + m^2 = 0.\)

a) Tính \(\Delta '\)

b) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt ? Có nghiệm kép? Vô nghiệm?

Đối với phương trình sau, kí hiệu x₁ và x₂ là hai nghiệm (nếu có). Không giải phương trình, hãy điền vào những chố trống (..):

\(\small a) 2x^2-17x+1=0;\Delta=...;x_1+x_2=...;x_1.x_2=...\)

\(\small b) 5x^2-x-35=0;\Delta=...;x_1+x_2=...;x_1.x_2=...\)

\(\small c) 8x^2-x+1=0;\Delta=...;x_1+x_2=...;x_1.x_2=...\)

\(\small d) 25x^2+10x+1=0;\Delta=...;x_1+x_2=...;x_1.x_2=...\)

Dùng điều kiện a + b + c = 0 hoặc a – b + c = 0 để tính nhẩm nghiệm của mỗi phương trình sau:

a) 35x² – 37x + 2 = 0

b) 7x² + 500x – 507 = 0

c) x² – 49x - 50 = 0

d) 4321x² + 21x – 4300 = 0

Dùng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm các nghiệm của phương trình.

a) x² – 7x + 12 = 0

b) x² + 7x + 12 = 0

Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:

a) u + v = 32, uv = 231

b) u + v = -8, uv = -105

c) u + v = 2, uv = 9

Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của mỗi phương trình sau:

a) 4x² + 2x – 5 = 0

b) 9x² – 12x + 4 = 0

c) 5x² + x + 2 = 0

d) 159x² – 2x – 1 = 0

Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm, rồi tính tổng và tích các nghiệm theo m.

a) x² – 2x +  m = 0

b) x² – 2(m – 1)x +  m² = 0

Tính nhẩm nghiệm của các phương trình:

a) \(1,5x^2 - 1,6x + 0,1 = 0\)

b) \(\sqrt{3}x^2 - (1 - \sqrt{3})x - 1 = 0\)

c) \((2 - \sqrt{3})x^2 + 2\sqrt{3}x - (2 + \sqrt{3}) = 0\)

d) \((m - 1)x^2 - (2m + 3)x + m + 4 = 0\) với \(m \neq 1\)

Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:

a) u + v = 42, uv = 441

b) u + v = -42, uv = -400

c) u – v = 5, uv = 24

Chứng tỏ rằng nếu phương trình ax² + bx + c = 0 có nghiệm là x₁ và x₂ thì tam thức ax² + bx + c phân tích được thành nhân tử như sau:

ax² + bx + c = a(x – x₁)(x – x₂).

Áp dụng. Phân tích đa thức thành nhân tử.

a) 2x² – 5x + 3;

b) 3x² + 8x + 2.

Giải các phương trình trùng phương:

a) \(x^4 - 5x^2 + 4 = 0\)

b) \(2x^4 - 3x^2 - 2 = 0\)

c) \(3x^4 + 10x^2 + 3 = 0\)

Giải các phương trình:

a) \(\small \frac{(x+ 3)(x-3)}{3}+ 2 = x(1 - x)\)   

b)   \(\frac{x+ 2}{x-5}+ 3 =\frac{6}{2-x}\)

c) \(\small \frac{4}{x+1}=\frac{-x^2-x+2}{(x+1)(x+2)}\)

Giải các phương trình:

a) \((3x^2 -5x + 1)(x^2 - 4) = 0\)

b) \((2x^2 + x - 4)^2 - (2x - 1)^2 = 0\)

Giải phương trình trùng phương:

a) \(9x^4 - 10x^2 + 1 = 0\)

b) \(5x^4 + 2x^2 - 16 = 10 - x^2\)

c) \(0,3x^4 + 1,8x^2 + 1,5 = 0\)

d)  \(2x^2 + 1 =\frac{1}{x^{2}}-4\)

Giải các phương trình:

a) \((x - 3)^2 + (x + 4)^2 = 23 - 3x\)

b) \(x^3 + 2x^2 - (x - 3)^2 = (x - 1)(x^2- 2)\)

c) \((x - 1)^3 + 0,5x^2 = x(x^2 + 1,5)\)

d) \(\small \frac{x(x - 7)}{3} - 1 =\frac{x}{2}-\frac{x-4}{3}\)

e) \(\frac{14}{x^{2}-9}= 1 -\frac{1}{3-x}\)

f) \(\frac{2x}{x+1}=\frac{x^{2}-x+8}{(x+1)(x-4)}\)

Giải phương trình bằng cách đưa về phương trình tích.

a) \((3x^2 - 7x - 10)[2x^2 + (1 - \sqrt{5})x + \sqrt{5} - 3] = 0\)

b) \(x^3 + 3x^2- 2x - 6 = 0\)

c) \((x^2 - 1)(0,6x + 1) = 0,6x^2 + x\)

d) \((x^2 + 2x - 5)^2 = ( x^2 - x + 5)^2\)

Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ:

a) \(3(x^2 + x)^2 - 2(x^2 + x) - 1 = 0\)

b) \((x^2 - 4x + 2)^2 + x^2 - 4x - 4 = 0\)

c) \( x - \sqrt{x} = 5\sqrt{x }+ 7\)

d)  \(\frac{x}{x+ 1}-10 . \frac{x+1}{x}=3\)

Hướng dẫn: a) Đặt \(t = x^2 + x\), ta có phương trình \(3t^2 - 2t - 1 = 0\). Giải phương trình này, ta tìm được hai giá trị của t. Thay mỗi giá trị của t vừa tìm được vào đằng thức \(t = x^2 + x\), ta được một phương trình của ẩn x. Giải mỗi phương trình này sẽ tìm được giá trị của x.

d) Đặt \(\frac{x+1}{x}= t\)  hoặc \(\frac{x}{x+ 1} = t\)

Trong lúc học nhóm bạn Hùng yêu cầu bạn Minh và bạn Lan mỗi người chọn một số sao cho hai số này hơn kém nhau là 5 và tích của chúng phải bằng 150. Vậy hai bạn Minh và Lan phải chọn những số nào?

Bác Thời vay 2 000 000 đồng của ngân hàng để làm kinh tế gia đình trong thời hạn một năm. Lẽ ra cuối năm bác phải trả cả vốn lẫn lãi, Song bác đã được ngân hàng cho kéo dài thời hạn thêm một năm nữa, số lãi của năm đầu được gộp vào với vốn để tính lãi năm sau và lãi sất vẫn như cũ. Hết hai năm bác phải trả tất cả là 2 420 000 đồng. Hỏi lãi suất cho vay là bao nhiêu phần trăm trong một năm?

Một xuồng du lịch đi từ thành phố Cà Mau đến Đất Mũi theo một đường sông dài 120 km. Trên đường đi, xuồng có nghỉ lại 1 giờ ở thị trấn Năm Căn. Khi về, xuồng đi theo đường dài hơn đường lúc đi 5km và vời vận tốc nhỏ hơn vận tốc lúc đi là 5 km/h. Tính vận tốc của xuồng lúc đi, biết rằng thời gian về bằng thời gian đi.

Đố em vừa tìm được một số mà một nửa của nó trừ đi một nửa đơn vị rồi nhân với một nửa của nó bằng một đơn vị.

Tích của hai số tự nhiên liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là 109. Tìm hai số đó.

Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 240 m². Nếu tăng chiều rộng 3 m và giảm chiều dài 4 m thì diện tích mảnh đất không đổi. Tính kích thước của mảnh đất.

Bác Hiệp và cô Liên đi xe đạp từ làng lên tỉnh trên quãng đường dài 30 km, khởi hành cùng một lúc. Vận tốc xe của bac Hiệp lớn hơn vận tốc xe của cô Liên là 3 km/h nên bác Hiệp đã đến tỉnh sớm hơn cô Liên nửa giờ. Tính vận tốc xe mỗi người.

Từ một miếng tôn hình chữ nhật người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông có cạnh bằng 5 dm để làm thành một cái thùng hình hộp chữ nhật không nắp có dung tích 1500 dm³ (h.15). Hãy tính kích thước của miếng tôn lúc đầu, biết rằng chiều dài của nó gấp đôi chiều rộng.

Hai đội thợ quét sơn một ngôi nhà. Nếu họ cùng làm thì trong 4 ngày xong việc. Nếu họ làm riêng thì đội I hoàn thành công việc nhanh hơn đội II là 6 ngày. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội phải làm trong bao nhiêu ngày để xong việc?

Miếng kim loại thứ nhất nặng 880 g, miếng kim loại thứ hai nặng 858 g. Thể tích của miếng thứ nhất nhỏ hơn thể tích của miếng thứ hai là 10 cm³, nhưng khối lượng riêng của miếng thứ nhất lớn hơn khối lượng riêng của miếng thứ hai là 1 g/cm³ . Tìm khối lượng riêng của mỗi miếng kim loại.

Người ta đổ thêm 200 g nước vào một dung dịch chứa 40 g muối thì nồng độ của dung dịch giảm đi 10 %. Hỏi trước khi đổ thêm nước thì dung dịch chứa bao nhiêu nước?

Khoảng cách giữa hai bên sông A và B là 30 km. Một canô đi từ bến A đến bến B, nghỉ 40 phút ở bến B rồi quay lại bến A. Kể từ lúc khởi hành đến khi về tời bến A hết tất cả 6 giờ. Hãy tìm vận tốc của canô trong nước yên lặng, biết rằng vận tốc của nước chảy là 3 km/h.

Tỉ số vàng. Đố em chia được đoan AB cho trước thành hai đoạn sao cho tỉ số giữa đoạn lớn với đoạn AB bằng tỉ số giữa đoạn nhỏ với đoạn lớn (h.16).

Hãy tìm tỉ số ấy.

Đó chính là bài toán mà Ơ-clít đưa ra từ thế kỉ III trước công nguyên. Tỉ số nói trong bài toán được gọi là tỉ số vàng, còn phép chia nói trên được gọi là phép chia vàng hay phép chia hoàng kim.

Hướng dẫn: Giả sử M là điểm chia và AM > MB. Gọi tỉ số cần tìm là x.

Cho hàm số y = (3 - √2 )x + 1

a. Hàm số là hàm đồng biến hay nghịch biến trên R? Vì sao?

b. Tính các giá trị tương ứng của y khi x nhận các giá trị sau:

0; 1; √2 ; 3 + √2 ; 3 - √2

c. Tính các giá trị tương ứng của x khi y nhận các giá trị sau:

0; 1; 8; 2 + √2 ; 2 - √2