Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A với \(AB=a,\widehat{ACB}={{30}^{0}}\) và SA=SB=SD với D là trung điểm BC. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC bằng \(\...

Câu hỏi :

Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A với \(AB=a,\widehat{ACB}={{30}^{0}}\) và SA=SB=SD với D là trung điểm BC. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC bằng \(\frac{3a}{4}.\) Tính cos góc giữa hai mặt phẳng \(\left( SAC \right)\) và \(\left( SBC \right)\). 

A. \(\frac{{2\sqrt 5 }}{{11}}.\)

B. 3

C. \(\frac{{\sqrt {65} }}{{13}}.\)

D. \(\frac{{\sqrt 5 }}{{33}}.\)

* Đáp án

C

* Hướng dẫn giải

Do tam giác ABC vuông tại A có D là trung điểm BC và \(\widehat{ACB}={{60}^{0}}\) nên tam giác ABD đều cạnh a và \(BC=2a,CA=a\sqrt{3}.\)

Dựng \(SH\bot \left( ABC \right)\) với \(H\in \left( ABC \right)\)

\(\Rightarrow H\) là tâm tam giác đều BAD do SA=SB=SD.

Gọi hình chiếu của H lên AB,AC thứ tự là E,F

Gọi M là trung điểm đoạn BD.

\(\Rightarrow AM=\sqrt{B{{A}^{2}}-B{{M}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-\frac{{{a}^{2}}}{4}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\)

\(\Rightarrow AH=\frac{2}{3}AM=\frac{a\sqrt{3}}{3}\) và \(HE=HM=\frac{AM}{3}=\frac{a\sqrt{3}}{6}.\)

Ta có: \(SH\bot BC,AM\bot BC\) nên \(BC\bot \left( SAM \right).\)

Kẻ \(MN\bot SA\left( N\in SA \right)\) thì MN là đường vuông góc chung của SA và BC hay \(MN=\frac{3a}{4}.\)

\(\Rightarrow NA=\sqrt{M{{A}^{2}}-M{{N}^{2}}}=\frac{a\sqrt{3}}{4}.\)

Trong tam giác SAM có MN,SH là hai đường cao nên AH.AM=AN.AS.

\(\Rightarrow AS=\frac{AH.AM}{AN}=\frac{2a\sqrt{3}}{3}\Rightarrow SH=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}=a.\)

Chọn hệ trục tọa độ với gốc tại A và các trục tọa độ như hình vẽ với tia Ox trùng với tia AB, tia Oy trùng với tia AC và tia Oz vuông góc với mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) và có hướng theo \(\overrightarrow{HS}.\) Các đơn vị trên các trục bằng nhau và bằng a.

Khi đó: \(A\left( 0;0;0 \right),B\left( 1;0;0 \right),C\left( 0;\sqrt{3};0 \right)\).

Do \(HF=AE=\frac{a}{2},HE=HM=\frac{a\sqrt{3}}{6}\) và SH=a nên \(S\left( \frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{6};1 \right).\)

Véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( SAC \right)\) là

\(\overrightarrow{{{n}_{1}}}=\left[ \overrightarrow{AC},\overrightarrow{AS} \right]=\left( \sqrt{3};0;\frac{-\sqrt{3}}{2} \right)\)

Véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( SBC \right)\) là

\(\overrightarrow{{{n}_{2}}}=\left[ \overrightarrow{BC},\overrightarrow{SC} \right]=\left( -\sqrt{3};-1;\frac{-\sqrt{3}}{3} \right).\)

Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( SAC \right)\) và \(\left( SBC \right),\) ta có:

\(\cos \alpha =\left| \cos \left( \overrightarrow{{{n}_{1}}};\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right) \right|=\frac{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}}.\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right|}{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}} \right|.\left| \overrightarrow{{{n}_{2}}} \right|}=\frac{\sqrt{65}}{13}.\)

Bạn có biết?

Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các phép biến đổi. Nói một cách khác, người ta cho rằng đó là môn học về "hình và số". Theo quan điểm chính thống neonics, nó là môn học nghiên cứu về các cấu trúc trừu tượng định nghĩa từ các tiên đề, bằng cách sử dụng luận lý học (lôgic) và ký hiệu toán học. Các quan điểm khác của nó được miêu tả trong triết học toán. Do khả năng ứng dụng rộng rãi trong nhiều khoa học, toán học được mệnh danh là "ngôn ngữ của vũ trụ".

Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thư

Tâm sự Lớp 12

Lớp 12 - Năm cuối ở cấp tiểu học, năm học quan trọng nhất trong đời học sinh trải qua bao năm học tập, bao nhiêu kì vọng của người thân xung quanh ta. Những nỗi lo về thi đại học và định hướng tương lai thật là nặng. Hãy tin vào bản thân là mình sẽ làm được rồi tương lai mới chờ đợi các em!

Nguồn : ADMIN :))

Liên hệ hợp tác hoặc quảng cáo: gmail

Điều khoản dịch vụ

Copyright © 2021 HOCTAPSGK