Cho phương trình \({2^x} = \sqrt {m{{.2}^x}.cos\left( {\pi x} \right) - 4} \), với m là tham số thực.

* Hướng dẫn giải

Ta có: \({2^x} = \sqrt {m{{.2}^x}\cos \left( {\pi x} \right) - 4}  \Leftrightarrow {2^{2x}} = m{.2^x}\cos \left( {\pi x} \right) - 4 \Leftrightarrow m\cos \left( {\pi x} \right) = {2^x} + \frac{4}{{{2^x}}} \Leftrightarrow m\cos \left( {\pi x} \right) = {2^x} + {2^{2 - x}}\) 

Trong phương trình \(m\cos \left( {\pi x} \right) = {2^x} + {2^{2 - x}}\), nếu ta thay x bởi 2 - x thì phương trình trở thành:

\(m\cos \left( {2\pi  - \pi x} \right) = {2^{2 - x}} + {2^x} \Leftrightarrow m\cos \left( {\pi x} \right) = {2^x} + {2^{2 - x}}\) 

Suy ra x và 2 - x có vai trò như nhau trong phương trình nên nếu phương trình nhận \(x_0\) làm nghiệm thì nó cũng nhận \(2-x_0\) làm nghiệm.

Do đó để phương trình có đúng một nghiệm thực thì \({x_0} = 2 - {x_0} \Leftrightarrow {x_0} = 1\) 

Với x = 1 thì \(m\cos \pi  = {2^1} + {2^1} \Leftrightarrow m =  - 4\) 

Thử lại,

Với m = - 4 ta có: \({2^x} = \sqrt { - {{4.2}^x}.cos\left( {\pi x} \right) - 4} \,\,\,\left( * \right)\) 

Điều kiện: \( - {4.2^x}.cos\left( {\pi x} \right) - 4 \ge 0 \Leftrightarrow {2^x}cos\left( {\pi x} \right) + 1 \le 0\)

Khi đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow {2^{2x}} =  - {4.2^x}\cos \left( {\pi x} \right) - 4 \Leftrightarrow {2^x} =  - 4\cos \left( {\pi x} \right) - {2^{2 - x}} \Leftrightarrow {2^x} + {2^{2 - x}} =  - 4\cos \left( {\pi x} \right)\) 

Ta thấy: \({2^x} + {2^{2 - x}} \ge 2\sqrt {{2^x}{{.2}^{2 - x}}}  = 4\) và \(\cos \left( {\pi x} \right) \ge  - 1 \Rightarrow  - 4\cos \left( {\pi x} \right) \le 4\) 

Suy ra \({2^x} + {2^{2 - x}} = 4 =  - 4\cos \left( {\pi x} \right) \Leftrightarrow x = 1\) 

Vậy với m = - 4 thì phương trình có nghiệm duy nhất.

Kiểm tra các đáp án ta thấy A thỏa mãn.