Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai số phức \({{z}_{1}}\) có điểm biểu diễn M, số phức \({{z}_{2}}\) có điểm biểu diễn là N thỏa mãn \(\left| {{z}_{1}} \right|=1\), \(\...

* Hướng dẫn giải

Gọi \({{M}_{1}}\) là điểm biểu diễn của số phức \(3{{z}_{1}}\), suy ra \(O{{M}_{1}}=3\).

Gọi \({{N}_{1}}\) là điểm biểu diễn của số phức \(2{{z}_{2}}\), suy ra \(O{{N}_{1}}=6\). Gọi P là điểm sao cho \(\overrightarrow{O{{M}_{1}}}+\overrightarrow{O{{N}_{1}}}=\overrightarrow{OP}\). Suy ra tứ giác \(O{{M}_{1}}P{{N}_{1}}\) là hình bình hành.

Do từ giả thiết  \(\widehat{MON}=120{}^\circ \), suy ra \(\widehat{{{M}_{1}}O{{N}_{1}}}=120{}^\circ \).

Dùng định lí cosin trong tam giác \(O{{M}_{1}}{{N}_{1}}\) ta tính được \({{M}_{1}}{{N}_{1}}=\sqrt{9+36-2.3.6.\left( -\frac{1}{2} \right)}=3\sqrt{7}\);

và  định lí cosin trong tam giác \(O{{M}_{1}}P\) ta có \(OP=\sqrt{9+36-2.3.6.\frac{1}{2}}=3\sqrt{3}\).

Ta có \({{M}_{1}}{{N}_{1}}=\left| 3{{z}_{1}}-2{{z}_{2}} \right|=3\sqrt{7}; OP=\left| 3{{z}_{1}}+2{{z}_{2}} \right|=3\sqrt{3}\).

   Tìm giá trị lớn nhất của \(\left| 3{{\text{z}}_{1}}+2{{z}_{2}}-3i \right|\).

Đặt \(3{{z}_{1}}+2{{z}_{2}}={{w}_{1}}\Rightarrow \left| {{w}_{1}} \right|=3\sqrt{3}\), suy ra điểm biểu diễn \({{w}_{1}}\) là \(A\) thuộc đường tròn \(\left( {{C}_{1}} \right)\)   tâm \(O\left( 0;0 \right)\) bán kính \({{R}_{1}}=3\sqrt{3}\). Gọi điểm \({{Q}_{1}}\) là biểu diễn số phức 3i.

Khi đó \(\left| 3{{\text{z}}_{1}}+2{{z}_{2}}-3i \right|=A{{Q}_{1}}\), bài toán trở thành tìm \({{\left( A{{Q}_{1}} \right)}_{max}}\)biết điểm A trên đường tròn \(\left( {{C}_{1}} \right)\). Dễ thấy \({{\left( A{{Q}_{1}} \right)}_{max}}=O{{Q}_{1}}+{{R}_{1}}=3+3\sqrt{3}\).

   Tìm giá trị nhỏ nhất của \(\left| 3{{\text{z}}_{1}}-2{{z}_{2}}+1-2i \right|=\left| 3{{\text{z}}_{1}}-2{{z}_{2}}-\left( -1+2i \right) \right|\).

Đặt \(3{{z}_{1}}-2{{z}_{2}}={{w}_{2}}\Rightarrow \left| {{w}_{2}} \right|=3\sqrt{7}\), suy ra điểm biểu diễn \({{w}_{2}}\) là \(B\) thuộc đường tròn \(\left( {{C}_{2}} \right)\)   tâm \(O\left( 0;0 \right)\) bán kính \({{R}_{1}}=3\sqrt{7}\). Gọi điểm \({{Q}_{2}}\) là biểu diễn số phức -1+2i.

Khi đó \(\left| 3{{\text{z}}_{1}}-2{{z}_{2}}-\left( -1+2i \right) \right|=B{{Q}_{2}}\), bài toán trở thành tìm \({{\left( B{{Q}_{2}} \right)}_{\min }}\)biết điểm B trên đường tròn \(\left( {{C}_{2}} \right)\). Dễ thấy điểm \({{Q}_{2}}\) nằm trong đường tròn \(\left( {{C}_{2}} \right)\) nên \({{\left( B{{Q}_{2}} \right)}_{\min }}={{R}_{2}}-O{{Q}_{2}}=3\sqrt{7}-\sqrt{5}\).

Vậy \({{M}_{0}}+{{m}_{0}}=3\sqrt{7}+3\sqrt{3}-\sqrt{5}+3\).