Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai số phức \({{z}_{1}}\) có điểm biểu diễn M, số phức \({{z}_{2}}\) có điểm biểu diễn là N thỏa mãn \(\left| {{z}_{1}} \right|=1\), \(\...

Câu hỏi :

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai số phức \({{z}_{1}}\) có điểm biểu diễn M, số phức \({{z}_{2}}\) có điểm biểu diễn là N thỏa mãn \(\left| {{z}_{1}} \right|=1\), \(\,\left| {{z}_{2}} \right|=3\) và \(\widehat{MON}=120{}^\circ \). Giá trị lớn nhất của \(\left| 3{{\text{z}}_{1}}+2{{z}_{2}}-3i \right|\) là \({{M}_{0}}\), giá trị nhỏ nhất của \(\left| 3{{\text{z}}_{1}}-2{{z}_{2}}+1-2i \right|\) là \({{m}_{0}}\). Biết \({{M}_{0}}+{{m}_{0}}=a\sqrt{7}+b\sqrt{5}+c\sqrt{3}+d\), với \(a,b,c,d\in \mathbb{Z}\). Tính a+b+c+d ?

A. 9

B. 8

C. 7

D. 6

* Đáp án

B

* Hướng dẫn giải

Gọi \({{M}_{1}}\) là điểm biểu diễn của số phức \(3{{z}_{1}}\), suy ra \(O{{M}_{1}}=3\).

Gọi \({{N}_{1}}\) là điểm biểu diễn của số phức \(2{{z}_{2}}\), suy ra \(O{{N}_{1}}=6\). Gọi P là điểm sao cho \(\overrightarrow{O{{M}_{1}}}+\overrightarrow{O{{N}_{1}}}=\overrightarrow{OP}\). Suy ra tứ giác \(O{{M}_{1}}P{{N}_{1}}\) là hình bình hành.

Do từ giả thiết  \(\widehat{MON}=120{}^\circ \), suy ra \(\widehat{{{M}_{1}}O{{N}_{1}}}=120{}^\circ \).

Dùng định lí cosin trong tam giác \(O{{M}_{1}}{{N}_{1}}\) ta tính được \({{M}_{1}}{{N}_{1}}=\sqrt{9+36-2.3.6.\left( -\frac{1}{2} \right)}=3\sqrt{7}\);

và  định lí cosin trong tam giác \(O{{M}_{1}}P\) ta có \(OP=\sqrt{9+36-2.3.6.\frac{1}{2}}=3\sqrt{3}\).

Ta có \({{M}_{1}}{{N}_{1}}=\left| 3{{z}_{1}}-2{{z}_{2}} \right|=3\sqrt{7}; OP=\left| 3{{z}_{1}}+2{{z}_{2}} \right|=3\sqrt{3}\).

   Tìm giá trị lớn nhất của \(\left| 3{{\text{z}}_{1}}+2{{z}_{2}}-3i \right|\).

Đặt \(3{{z}_{1}}+2{{z}_{2}}={{w}_{1}}\Rightarrow \left| {{w}_{1}} \right|=3\sqrt{3}\), suy ra điểm biểu diễn \({{w}_{1}}\) là \(A\) thuộc đường tròn \(\left( {{C}_{1}} \right)\)   tâm \(O\left( 0;0 \right)\) bán kính \({{R}_{1}}=3\sqrt{3}\). Gọi điểm \({{Q}_{1}}\) là biểu diễn số phức 3i.

Khi đó \(\left| 3{{\text{z}}_{1}}+2{{z}_{2}}-3i \right|=A{{Q}_{1}}\), bài toán trở thành tìm \({{\left( A{{Q}_{1}} \right)}_{max}}\)biết điểm A trên đường tròn \(\left( {{C}_{1}} \right)\). Dễ thấy \({{\left( A{{Q}_{1}} \right)}_{max}}=O{{Q}_{1}}+{{R}_{1}}=3+3\sqrt{3}\).

   Tìm giá trị nhỏ nhất của \(\left| 3{{\text{z}}_{1}}-2{{z}_{2}}+1-2i \right|=\left| 3{{\text{z}}_{1}}-2{{z}_{2}}-\left( -1+2i \right) \right|\).

Đặt \(3{{z}_{1}}-2{{z}_{2}}={{w}_{2}}\Rightarrow \left| {{w}_{2}} \right|=3\sqrt{7}\), suy ra điểm biểu diễn \({{w}_{2}}\) là \(B\) thuộc đường tròn \(\left( {{C}_{2}} \right)\)   tâm \(O\left( 0;0 \right)\) bán kính \({{R}_{1}}=3\sqrt{7}\). Gọi điểm \({{Q}_{2}}\) là biểu diễn số phức -1+2i.

Khi đó \(\left| 3{{\text{z}}_{1}}-2{{z}_{2}}-\left( -1+2i \right) \right|=B{{Q}_{2}}\), bài toán trở thành tìm \({{\left( B{{Q}_{2}} \right)}_{\min }}\)biết điểm B trên đường tròn \(\left( {{C}_{2}} \right)\). Dễ thấy điểm \({{Q}_{2}}\) nằm trong đường tròn \(\left( {{C}_{2}} \right)\) nên \({{\left( B{{Q}_{2}} \right)}_{\min }}={{R}_{2}}-O{{Q}_{2}}=3\sqrt{7}-\sqrt{5}\).

Vậy \({{M}_{0}}+{{m}_{0}}=3\sqrt{7}+3\sqrt{3}-\sqrt{5}+3\).

Bạn có biết?

Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các phép biến đổi. Nói một cách khác, người ta cho rằng đó là môn học về "hình và số". Theo quan điểm chính thống neonics, nó là môn học nghiên cứu về các cấu trúc trừu tượng định nghĩa từ các tiên đề, bằng cách sử dụng luận lý học (lôgic) và ký hiệu toán học. Các quan điểm khác của nó được miêu tả trong triết học toán. Do khả năng ứng dụng rộng rãi trong nhiều khoa học, toán học được mệnh danh là "ngôn ngữ của vũ trụ".

Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thư

Tâm sự Lớp 12

Lớp 12 - Năm cuối ở cấp tiểu học, năm học quan trọng nhất trong đời học sinh trải qua bao năm học tập, bao nhiêu kì vọng của người thân xung quanh ta. Những nỗi lo về thi đại học và định hướng tương lai thật là nặng. Hãy tin vào bản thân là mình sẽ làm được rồi tương lai mới chờ đợi các em!

Nguồn : ADMIN :))

Liên hệ hợp tác hoặc quảng cáo: gmail

Điều khoản dịch vụ

Copyright © 2021 HOCTAPSGK