Một cái thùng đựng đầy nước được tạo thành từ việc cắt mặt xq của một hình nón bởi một m�
Câu hỏi :
Một cái thùng đựng đầy nước được tạo thành từ việc cắt mặt xung quanh của một hình nón bởi một mặt phẳng vuông góc với trục của hình nón. Miệng thùng là đường tròn có bán kính bằng ba lần bán kính mặt đáy của thùng. Người ta thả vào đó một khối cầu có đường kính bằng \(\frac{3}{2}\)chiều cao của thùng nước và đo được thể tích nước tràn ra ngoài là \(54\sqrt{3}\pi \) (dm3). Biết rằng khối cầu tiếp xúc với mặt trong của thùng và đúng một nửa của khối cầu đã chìm trong nước (hình vẽ). Thể tích nước còn lại trong thùng có giá trị nào sau đây?.png)
A. \(\frac{46}{5}\sqrt{3}\pi \) (dm3).
B. \(18\sqrt{3}\pi \) (dm3).
C. \(\frac{46}{3}\sqrt{3}\pi \) (dm3).
D. \(18\pi \) (dm3).
* Đáp án
C
* Hướng dẫn giải
.png)
Gọi R là bán kính của khối cầu. Khi đó thể tích nước tràn ra ngoài là thể tích của một nửa khối cầu nên \(\frac{1}{2}.\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=54\sqrt{3}\pi \Leftrightarrow R=3\sqrt{3}\).
Do đó chiều cao của thùng nước là \(h=\frac{2}{3}.2R=4\sqrt{3}\).
Cắt thùng nước bởi thiết diện qua trục ta được hình thang cân ABCD với AB=3CD. Gọi O là giao điểm của AD và BC thì tam giác OAB cân tại O.
Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng AB và I là giao điểm của OH và CD \(\to I\) là trung điểm của DC nên \(DI=\frac{1}{3}AH\).
Ta có \(\frac{OI}{OH}=\frac{DI}{AH}=\frac{1}{3}\) \(\to OH=\frac{3}{2}HI=6\sqrt{3}\)
Gọi K là hình chiếu của H trên OA thì \(HK=R=3\sqrt{3}\)
Tam giác OHA vuông tại H có đường cao HK nên
\(\frac{1}{H{{K}^{2}}}=\frac{1}{H{{O}^{2}}}+\frac{1}{A{{H}^{2}}}\to \frac{1}{A{{H}^{2}}}=\frac{1}{H{{K}^{2}}}-\frac{1}{H{{O}^{2}}}=\frac{1}{36}\)\(\to AH=6\to DI=2\)
Thể tích thùng đầy nước là \(\frac{h\pi \left( A{{H}^{2}}+D{{I}^{2}}+AH.DI \right)}{3}=\frac{4\sqrt{3}\pi \left( {{6}^{2}}+{{2}^{2}}+6.2 \right)}{3}=\frac{208\sqrt{3}\pi }{3}\)
Do đó thể tích nước còn lại là\(\frac{208\sqrt{3}\pi }{3}-54\sqrt{3}\pi =\frac{46\sqrt{3}\pi }{3}\left( d{{m}^{3}} \right)\).
Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm dưới đây !
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán - Trường THPT Nguyễn Khuyến lần 3
Bạn có biết?
Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các phép biến đổi. Nói một cách khác, người ta cho rằng đó là môn học về "hình và số". Theo quan điểm chính thống neonics, nó là môn học nghiên cứu về các cấu trúc trừu tượng định nghĩa từ các tiên đề, bằng cách sử dụng luận lý học (lôgic) và ký hiệu toán học. Các quan điểm khác của nó được miêu tả trong triết học toán. Do khả năng ứng dụng rộng rãi trong nhiều khoa học, toán học được mệnh danh là "ngôn ngữ của vũ trụ".
Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thưTâm sự Lớp 12
Lớp 12 - Năm cuối ở cấp tiểu học, năm học quan trọng nhất trong đời học sinh trải qua bao năm học tập, bao nhiêu kì vọng của người thân xung quanh ta. Những nỗi lo về thi đại học và định hướng tương lai thật là nặng. Hãy tin vào bản thân là mình sẽ làm được rồi tương lai mới chờ đợi các em!
Nguồn : ADMIN :))Copyright © 2021 HOCTAPSGK