Cho tứ diện ABCD có \(AC = AD = BC = BD = a,\,\,\left( {ACD} \right) \bot \left( {BCD} \right)\) và \(\left( {ABC} \right) \bot \left( {ABD
Câu hỏi :
Cho tứ diện ABCD có \(AC = AD = BC = BD = a,\,\,\left( {ACD} \right) \bot \left( {BCD} \right)\) và \(\left( {ABC} \right) \bot \left( {ABD} \right)\). Tính độ dài cạnh CD.
A. \(\frac{{2\sqrt 3 }}{3}a\)
B. \(2\sqrt 2 a\)
C. \(\sqrt 2 a\)
D. \(\frac{{\sqrt 3 }}{3}a\)
* Đáp án
A
* Hướng dẫn giải
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CD, AB.
\(\Delta ACD\) và \(\Delta BCD\) cân \( \Rightarrow AM \bot CD,BM \bot CD\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\left( {ACD} \right) \cap \left( {BCD} \right) = CD\\
\left( {ACD} \right) \supset AM \bot CD\\
\left( {BCD} \right) \supset BM \bot CD
\end{array} \right. \Rightarrow \angle \left( {\left( {ACD} \right);\left( {BCD} \right)} \right) = \angle \left( {AM;BM} \right) = {90^0}\\
\Rightarrow AM \bot BM
\end{array}\)
Và ta dễ dàng chứng minh được \(\Delta ACD = \Delta BCD\left( {c.c.c} \right) \Rightarrow AM = BM\)
\( \Rightarrow \Delta ABM\) vuông cân tại \(M \Rightarrow MN \bot AB\)
Chứng minh tương tự ta có \(\Delta CDN\) vuông cân tại N và \(MN \bot CD\)
Đặt CD = x. Áp dụng định lí Pytago ta có: \(A{M^2} = {a^2} - \frac{{{x^2}}}{4}\)
\(\Delta ABM\) vuông cân tại \(M \Rightarrow A{B^2} = 2A{M^2} = 2{a^2} - \frac{{{x^2}}}{2} \Rightarrow A{N^2} = \frac{1}{4}A{B^2} = \frac{{{a^2}}}{2} - \frac{{{x^2}}}{8}\)
Áp dụng định lí Pytago ta có: \(D{N^2} = A{D^2} - A{N^2} = {a^2} - \frac{{{a^2}}}{2} + \frac{{{x^2}}}{8} = \frac{{{a^2}}}{2} + \frac{{{x^2}}}{8}\)
\(\Delta CDN\) vuông cân tại \(N \Rightarrow C{D^2} = 2D{N^2} = {a^2} + \frac{{{x^2}}}{4} = {x^2} \Leftrightarrow x = \frac{{2\sqrt 3 a}}{3}\)
Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm dưới đây !
Đề thi thử THPT QG năm 2019 môn Toán Trường THPT Chuyên KHTN Hà Nội lần 2
Bạn có biết?
Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các phép biến đổi. Nói một cách khác, người ta cho rằng đó là môn học về "hình và số". Theo quan điểm chính thống neonics, nó là môn học nghiên cứu về các cấu trúc trừu tượng định nghĩa từ các tiên đề, bằng cách sử dụng luận lý học (lôgic) và ký hiệu toán học. Các quan điểm khác của nó được miêu tả trong triết học toán. Do khả năng ứng dụng rộng rãi trong nhiều khoa học, toán học được mệnh danh là "ngôn ngữ của vũ trụ".
Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thưTâm sự Lớp 12
Lớp 12 - Năm cuối ở cấp tiểu học, năm học quan trọng nhất trong đời học sinh trải qua bao năm học tập, bao nhiêu kì vọng của người thân xung quanh ta. Những nỗi lo về thi đại học và định hướng tương lai thật là nặng. Hãy tin vào bản thân là mình sẽ làm được rồi tương lai mới chờ đợi các em!
Nguồn : ADMIN :))Copyright © 2021 HOCTAPSGK