Cho lăng trụ đều ABC.ABC có cạnh đáy bằng a, bạnh bên bằng \(\sqrt 2 a\). Gọi M là trung điểm AB.
Câu hỏi :
Cho lăng trụ đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng a, bạnh bên bằng \(\sqrt 2 a\). Gọi M là trung điểm AB. Tính diện tích thiết diện cắt lăng trụ đã cho bởi mặt phẳng (A'C'M)
A. \(\frac{9}{8}{a^2}\)
B. \(\frac{{3\sqrt 2 }}{4}{a^2}\)
C. \(\frac{{3\sqrt {35} }}{{16}}{a^2}\)
D. \(\frac{{7\sqrt 2 }}{{16}}{a^2}\)
* Đáp án
C
* Hướng dẫn giải
.png)
Gọi N là trung điểm của BC ta có MN là đường trung bình của tam giác \(ABC \Rightarrow MN//AC\).
Ta có (A'C'M) chứa \(A'C'//AC \Rightarrow \left( {A'C'M} \right)\) cắt ABC theo giao tuyến là đường thẳng qua M và song song với $AC \Rightarrow \left( {A'C'M} \right) \cap \left( {ABC} \right) = MN\).
Vậy thiết diện của hình lăng trụ cắt bởi mặt phẳng (A'C'M) là tứ giác A'C'NM.
Ta có \(MN//AC//A'C' \Rightarrow A'C'NM\) là hình thang.
Xét \(\Delta A'AM\) và \(\Delta C'CN\) có:
\(\begin{array}{l}
A'A = C'C;\angle A'AM = \angle C'CM = {90^0};AM = CN = \frac{a}{2}\\
\Rightarrow \Delta A'AM = \Delta C'CN\,\,\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow A'M = C'N
\end{array}\)
Dễ dàng nhận thấy A'M và C'N không song song nên A'C'NM là hình thang cân.
.png)
Có \(A'C' = a;MN = \frac{a}{2}\)
Kẻ \(MH \bot A'C'\,\,\left( {H \in A'C'} \right);NK \bot A'C'\,\,\left( {K \in A'C'} \right)\) ta có MNKH là
hình chữ nhật \( \Rightarrow MN = HK = \frac{a}{2}\)
\( \Rightarrow A'H = C'K = \frac{{A'C' - HK}}{2} = \frac{{a - \frac{a}{2}}}{2} = \frac{a}{4}\)
Xét tam giác vuông A'AM có \(A'M = \sqrt {A'{A^2} + A{M^2}} = \sqrt {2{a^2} + \frac{{{a^2}}}{4}} = \frac{{3a}}{2}\)
Xét tam giác vuông A'MH có \(MH = \sqrt {A'{M^2} - A'{H^2}} = \frac{{9{a^2}}}{4} - \frac{{{a^2}}}{{16}} = \frac{{a\sqrt {35} }}{4}\)
Vậy \({S_{A'C'NM}} = \frac{1}{2}\left( {A'C' + MN} \right).MH = \frac{1}{2}\left( {a + \frac{a}{2}} \right).\frac{{a\sqrt {35} }}{4} = \frac{{3\sqrt {35} {a^2}}}{{16}}\)
Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm dưới đây !
Đề thi thử THPT QG năm 2019 môn Toán Trường THPT Chuyên KHTN Hà Nội lần 2
Bạn có biết?
Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các phép biến đổi. Nói một cách khác, người ta cho rằng đó là môn học về "hình và số". Theo quan điểm chính thống neonics, nó là môn học nghiên cứu về các cấu trúc trừu tượng định nghĩa từ các tiên đề, bằng cách sử dụng luận lý học (lôgic) và ký hiệu toán học. Các quan điểm khác của nó được miêu tả trong triết học toán. Do khả năng ứng dụng rộng rãi trong nhiều khoa học, toán học được mệnh danh là "ngôn ngữ của vũ trụ".
Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thưTâm sự Lớp 12
Lớp 12 - Năm cuối ở cấp tiểu học, năm học quan trọng nhất trong đời học sinh trải qua bao năm học tập, bao nhiêu kì vọng của người thân xung quanh ta. Những nỗi lo về thi đại học và định hướng tương lai thật là nặng. Hãy tin vào bản thân là mình sẽ làm được rồi tương lai mới chờ đợi các em!
Nguồn : ADMIN :))Copyright © 2021 HOCTAPSGK