Cho hàm số \(y = \left| {{{\sin }^3}x - m.sinx + 1} \right|.

Câu hỏi :

Cho hàm số \(y = \left| {{{\sin }^3}x - m.sinx + 1} \right|.\) Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên m sao cho hàm số đồng biến trên \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right).\) Tính số phần tử của S

A. 1

B. 2

C. 3

D. 0

* Đáp án

A

* Hướng dẫn giải

Trên khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right),\) hàm số \(y = \sin x\) đồng biến

Đặt \(t = \sin x,x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right) \Rightarrow t \in \left( {0;1} \right)\) 

Khi đó hàm số \(y = \left| {\sin {}^3x - m.sinx + 1} \right|\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right),\) khi và chỉ khi \(y = f\left( t \right) = \left| {{t^3} - mt + 1} \right|\) đồng biến trên (0;1)

Xét hàm số \( y= f\left( t \right) = \left| {{t^3} - mt + 1} \right|\) trên khoảng (0;1) có \(f'\left( t \right) = 3{t^2} - m\) 

+) Khi \(m = 0:f'\left( x \right) = 3{x^2} > 0,\forall x \Rightarrow y = f\left( x \right) = {x^3} + 1\) đồng biến trên (0;1)

Và đths \(y = f\left( x \right) = {x^3} + 1\) cắt Ox tại điểm duy nhất x = - 1 

\( \Rightarrow y = g\left( x \right) = \left| {{x^3} - mx + 1} \right|\) đồng biến trên (0;1) \( \Rightarrow m = 0\) thỏa mãn

+) \(m > 0:f'\left( x \right) = 0\) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1} =  - \sqrt {\frac{m}{3}} ,{x_2} = \sqrt {\frac{m}{3}} \) 

Hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^3} - mx + 1\) đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - \sqrt {\frac{m}{3}} } \right)\) và \(\left( {\sqrt {\frac{m}{3}} ; + \infty } \right)\) 

Nhận xét: \(\left( {0;1} \right) \not\subset \left( {\sqrt {\frac{m}{3}} ; + \infty } \right),\left( {0;1} \right) \not\subset \left( { - \infty ; - \sqrt {\frac{m}{3}} } \right),\forall m > 0\) 

TH1: \( - \sqrt {\frac{m}{3}}  < 0 < \sqrt {\frac{m}{3}}  < 1 \Leftrightarrow 0 < m < 3\) 

Description: 51935315_609795409467419_6920235041721155584_n

Để \(y = g\left( x \right) = \left| {{x^3} - mx + 1} \right|\) đồng biến trên (0;1) thì \({x^3} - mx + 1 = 0\) có nghiệm (bội lẻ) là \(x = \sqrt {\frac{m}{3}} \) 

\( \Rightarrow \frac{{m\sqrt m }}{{3\sqrt 3 }} - \frac{{m\sqrt m }}{{\sqrt 3 }} + 1 = 0 \Leftrightarrow  - 2m\sqrt m  + 3\sqrt 3  = 0 \Leftrightarrow m\sqrt m  = \frac{{3\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow m = \frac{3}{{\sqrt[3]{4}}}\left( {TM} \right)\)  

TH2: \( - \sqrt {\frac{m}{3}}  < 0 < 1 \le \sqrt {\frac{m}{3}}  \Leftrightarrow m \ge 3\)

Description: 52598863_763552667346790_6912074449239932928_n

Để \(y = g\left( x \right) = \left| {{x^3} - mx + 1} \right|\) đồng biến trên (0;1) thì \({x^3} - mx + 1 \le 0,\forall x \in \left( {0;1} \right)\) 

\( \Leftrightarrow mx \le {x^3} + 1,\forall x \in \left( {0;1} \right) \Leftrightarrow m \le {x^2} + \frac{1}{x},\forall x \in \left( {0;1} \right)\) 

Xét hàm số \(y = {x^2} + \frac{1}{x},\forall x \in \left( {0;1} \right) \Rightarrow y' = 2x - \frac{1}{{{x^2}}},y' = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{{\sqrt[3]{2}}} \in \left( {0;1} \right)\) 

Hàm số liên tục trên (0;1) và \(y\left( {\frac{1}{{\sqrt[3]{2}}}} \right) = \frac{3}{{\sqrt[3]{4}}};y\left( 1 \right) = 2;\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y =  + \infty  \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left( {0;1} \right)} y = \frac{3}{{\sqrt[3]{4}}}\) 

Để \(m \le {x^2} + \frac{1}{x},\forall x \in \left( {0;1} \right)\) thì \(m \le \frac{3}{{\sqrt[3]{4}}} \Rightarrow \) Không có giá trị của m thỏa mãn.

Vậy chỉ có giá trị m = 0 thỏa mãn

Bạn có biết?

Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các phép biến đổi. Nói một cách khác, người ta cho rằng đó là môn học về "hình và số". Theo quan điểm chính thống neonics, nó là môn học nghiên cứu về các cấu trúc trừu tượng định nghĩa từ các tiên đề, bằng cách sử dụng luận lý học (lôgic) và ký hiệu toán học. Các quan điểm khác của nó được miêu tả trong triết học toán. Do khả năng ứng dụng rộng rãi trong nhiều khoa học, toán học được mệnh danh là "ngôn ngữ của vũ trụ".

Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thư

Tâm sự Lớp 12

Lớp 12 - Năm cuối ở cấp tiểu học, năm học quan trọng nhất trong đời học sinh trải qua bao năm học tập, bao nhiêu kì vọng của người thân xung quanh ta. Những nỗi lo về thi đại học và định hướng tương lai thật là nặng. Hãy tin vào bản thân là mình sẽ làm được rồi tương lai mới chờ đợi các em!

Nguồn : ADMIN :))

Liên hệ hợp tác hoặc quảng cáo: gmail

Điều khoản dịch vụ

Copyright © 2021 HOCTAPSGK