Đề kiểm tra giữa học kì 2 môn Toán 9 có đáp án (Mới nhất) !!

Giải các phương trình sau:

a) 3x² + 10x + 3 = 0

b) –x⁴ + 2020x² + 2021 = 0

c) x³ – 5x² + 4x = 0

Cho Parabol (P): y = x² và đường thẳng (d): y = –x + 2.

a) Vẽ (P) trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính.

Cho phương trình 2x² – mx – 5 = 0 (m là tham số) (1)

a) Chứng tỏ phương trình (1) luôn có 2 nghiệm với mọi m.

b) Gọi x₁, x₂ là 2 nghiệm của phương trình (1). Tính biểu thức A = x₁² – x₁ + x₂² – x₂ theo m.

 Một trường tổ chức cho 330 người bao gồm giáo viên và học sinh đi tham quan Dinh Độc Lập. Biết giá vé tham quan tòa nhà chính Di tích lịch sử Dinh Độc Lập của mổi giáo viên là 40 000 đồng, của mỗi học sinh là 20 000 đồng. Nhân dịp kỉ niệm 90 năm Ngày thành lập Đoàn TNCS Hồ Chí Minh (26/3/1931-26/3/2021) nên được giảm 10% cho mỗi vé tham quan, vì vậy mà nhà trường chỉ phải trả số tiền là 6 480 000 đồng. Hỏi có bao nhiêu giáo viên, bao nhiêu học sinh?

Hoa văn của một tấm bìa hình vuông ABCD cạnh 25cm là hai cung tròn tâm B và tâm D bán kính 25cm có phần chung (phần tô đậm) là hình quả trám như hình vẽ. Hãy tính diện tích phần chung này. (Lấy π ≈ 3,14 và kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Qua điểm A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC đến (O) (B, C là 2 tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC, qua H kẻ một đường thẳng vuông góc với OC cắt (O) tại M (M thuộc cung nhỏ BC), AM cắt (O) tại N (N khác M); gọi K là trung điểm MN.

a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp và AB.BM = AM.NB.

b) Chứng minh 5 điểm A, B, K, O, C cùng thuộc 1 đường tròn và $\widehat{\text{AMH}}\text{=}\widehat{\text{AON}}$.

c) Kẻ OI vuông góc NB tại I. Chứng minh: I, K, H thẳng hàng.

Cho hệ phương trình $\{\begin{array}{l}mx+y=5\\ 2x-y=2\end{array}$

a) Giải hệ phương trình với m = 5.

b) Xác định m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn: x + y =12.

Cho hàm số y = x² có đồ thị (P) và hàm số y = ax + b có đồ thị (d).

a) Xác định a và b biết đường thẳng (d) đi qua điểm A(0; 2) và B(1; 3).

b) Với a, b vừa tìm được, hãy tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d).

Hai giá sách có 450 cuốn. Nếu chuyển 50 cuốn từ giá sách thứ nhất sang giá sách thứ hai thì số sách ở giá thứ hai sẽ bằng $\frac{4}{5}$số sách còn lại ở giá sách thứ nhất. Tính số sách trong mỗi giá lúc ban đầu.

Cho nữa đường tròn tâm O đường kính AB. C là một điểm nằm giữa O và A. Đường thẳng vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn trên tại I. K là một điểm bất kì nằm trên đoạn thẳng CI (K khác C và I), tia AK cắt nửa đường tròn (O) tại M, tia BM cắt tia CI tại D. Chứng minh:

a) Chứng minh: các điểm A; C; M; D cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh CK.CD = CA.CB

c) Gọi N là giao điểm của AD và đường tòn (O) chứng minh: B, K, N thẳng hàng.

Biết 4x² + 2y² + 2z² – 4xy – 4xz + 2yz – 6y – 10z = –34

Tính giá trị của biểu thức: M = (x – 4)²⁰²⁰ – (y – 4)²⁰²¹ + (z – 4)²⁰²²

Chọn câu trả lời đúng

Cho ΔABC nội tiếp trong đường tròn (O; R) có cạnh AB = R.

Số đo của cung lớn AB (hay cung chứa góc $\widehat{ACB}$) là:

Số đo góc $\widehat{ACB}$ là:

Vẽ đồ thị hàm số y = 0,5x²

Cho hệ phương trình $\{\begin{array}{l}x+y=1\\ mx+2y=m\end{array}$(*) Tìm m để hệ phương trình (*) có nghiệm duy nhất. Tìm nghiệm duy nhất đó

Một chiếc xe tải đi từ thành phố Huế vào thành phố Đà Nẵng. Sau khi xe tải xuất phát được 1 giờ, một chiếc xe khách bắt đầu đi từ thành phố Đà Nẵng ra thành phố Huế và gặp xe tải sau 42 phút kể từ khi xe khách xuất phát. Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải 20km và Huế cách Đà Nẵng 98km.

Cho tam giác ΔABC cân tại A, nội tiếp đưởng tròn (O). M là một điểm trên cung nhỏ AC (M ≠ A; C), MC cắt tia BA tại I. Tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) cắt AM tại E. Gọi N là giao điểm của BI với EC. Chứng minh rằng:

Các cặp số (x; y) sau, cặp nào là nghiệm của phương trình x + 2y = 3?

Cặp số (x; y) nào sau đây là nghiệm của hệ phương trình $\{\begin{array}{l}x+3y=5\\ 2x-y=3\end{array}$

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng y = 2x – 3 và y = x – 1 là:

Giá trị nào của a thì hệ $\{\begin{array}{l}ax+y=1\\ x+y=a\end{array}$ có vô số nghiệm.

Hai tủ sách có 450 quyển sách, nếu chuyển 50 quyển từ tủ một sang tủ hai thì hai tủ có số sách bằng nhau. Số sách của tủ một là:

Giá trị nào của a thì đồ thị hàm số y = ax² đi qua điểm (−1; 2)?

Hàm số y = (m − 1)x² đồng biến với x < 0 khi:

Số giá trị nguyên cùa m để đồ thị hàm số y = (2 – m²)x² nằm phía trên trục hoành là:

Hai điểm A, B ∈ (O) sao cho $\widehat{AOB}$= 40° thì số đo cung lớn $\stackrel{⌢}{AB}$là:

ΔABC nội tiếp (O; 6cm), $\widehat{BAC}$= 30°, $\widehat{ABC}$= 60°, độ dài AB là:

Điểm A thuộc nửa đường tròn (O;6cm) đường kính BC sao cho diện tích ΔABC lớn nhất. Khi đó số đo cung $\stackrel{⌢}{AC}$là:

Cho (O;R), AB là dây cung của đường (O) sao cho AB = $R\sqrt{3}$. M là một điểm trên cung lớn AB. Số đo cung $\stackrel{⌢}{AMB}$là bao nhiêu?

Giải các phương trình, hệ phương trình sau:

a. $\{\begin{array}{l}2x-y=-1\\ 4x+5y=33\end{array}$

b. 2x² – 9x – 5 = 0

Cho (P): y = $-\frac{1}{2}$x² và (d): y = x – 4

a. Vẽ (P) và (d) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

b. Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính.

Hai khách du lịch xuất phát đồng thời từ hai thành phố A và B cách nhau 53km. Họ đi ngược chiều và gặp nhau sau 2h. Hỏi vận tốc của mỗi người, biết rằng khi gặp nhau người thứ hai đi được nhiều hơn người thứ nhất 3km.

Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Qua điểm A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC đến (O) (B, C là tiếp điểm) và cát tuyến AMN không qua O (M nằm giữa A và N). Gọi H là giao điểm của OA và BC. Chứng minh rằng.

Phương trình nào sau đây là phương trình bậc nhất hai ẩn?

Phương trình 10x² + 5x – 16 = 0 có số nghiệm là:

Hệ phương trình $\{\begin{array}{l}2x+y=1\\ x-y=5\end{array}$ có nghiệm là

Số đo của góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn bằng

Các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là

Cho hình vẽ bên. Biết $\widehat{BOC}=$110°, bán kính R = 3cm, độ dài cung BmC bằng

Giải phương trình 3x² – 11x + 6 = 0

a. Vẽ Parabol: (P): y = x² và đường thẳng (d): y = 2x + 3 trên cùng mặt phẳng tọa độ

b. Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính

Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi bằng 46m. Nếu tăng chiều dài 5m và giảm chiều rông 3m thì chiều dài gấp 4 lần chiều rộng. Tính diện tích khu vườn hình chữ nhật?

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Bx với nửa đường tròn. Gọi C là điểm trên nửa đường tròn sao cho cung CB bằng cung CA, D là một điểm tùy ý trên cung CB (D khác C và B). Các tia AC, AD cắt Bx theo thứ tự tại E và F.

Cho hệ phương trình (I): $\{\begin{array}{l}mx+y=5\\ 2x-y=-2\end{array}$

Xác định m để nghiệm (x₀; y₀) của hệ (I) thỏa điều kiện x₀ + y₀ = 1

Giải phương trình và hệ phương trình sau:

a) x² + 3x – 4 = 0

b) $\{\begin{array}{l}3x-\frac{2}{\sqrt{y-1}}=4\\ 2x-\frac{1}{\sqrt{y-1}}=3\end{array}$

Một khách du lịch đi trên ôtô 4 giờ, sau đó đi tiếp bằng tàu hỏa trong 7 giờ được quãng đường dài 640km. Hỏi vận tốc của tàu hỏa và ôtô, biết rằng mỗi giờ tàu hỏa đi nhanh hơn ôtô 5km?

Cho phương trình: m²x² – 2(m + 1)x + 1 = 0 (m là tham số) (1)

a. Giải phương trình với m = 1.

b. Tìm m nguyên nhỏ nhất để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

Cho đường tròn (O; R), đường kính BC cố định và điểm A cố định thuộc đoạn thẳng OB (A không trùng với O và B). Kẻ dây PQ ⊥ BC tại A. Lấy M thuộc cung lớn PQ (M không trùng với C). Nối BM cắt PQ tại E. Chứng minh:

Cho a, b, c là các số lớn hơn 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P = $\frac{a^2}{a-1}+\frac{2b^2}{b-1}+\frac{3c^2}{c-1}$  .

Cho các biểu thức:

$A=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+3}$và $B=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}-\frac{x+2}{x-\sqrt{x}-2}$ với x ≥ 0, x ≠ 4

a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 49.

b) Rút gọn biểu thức B.              

c) Tìm x để biểu thức P = A.B ≤ $\frac{1}{x+3}$

Quãng đường AB dài 400 km, một ô tô đi từ A đến B với vận tốc không đổi. Khi từ B trở về A, ô tô tăng vận tốc thêm 10 km/h. Biết thời gian ô tô đi từ B vể A ít hơn thời gian đi từ A đến B là 2 giờ. Tính vận tốc ô tô lúc đi từ A đến B.

Cho đường tròn (O; R) và dây AB cố định không đi qua tâm. Trên tia đối của tia AB lấy điểm C (C khác A). Từ C kẻ 2 tiếp tuyến CM và CN với đường tròn (O) (M và N là các tiếp điểm; tia CO nằm giữa hai tia CM và CA). Gọi D là trung điểm AB.

a) Chứng minh tứ giác CMOD nội tiếp.

b) Chứng minh: CN² = CA.CB

c) ND cắt (O) tại I. Chứng minh: MI // ABư

Cho các biểu thức: $A=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-2}-\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+2}+\frac{4x}{x-4}$

và $B=\frac{4(\sqrt{x}+2)}{\sqrt{x}-2}$  với x ≥ 0, x ≠ 4

1) Tính giá trị của biểu thức B khi x = 9.

2) Chứng minh: $A=\frac{4\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}$ .

3) Cho $P=\frac{A}{B}$  . So sánh P và $\sqrt{P}$  .

Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn trong 18 giờ thì đầy bể. Nếu vòi 1 chảy trong 4 giờ, vòi 2 chảy trong 7 giờ thì chỉ được $\frac{1}{3}$  bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì trong bao lâu sẽ đầy bể?

1) Giải hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}\frac{8}{\sqrt{x}-3}+\frac{1}{|2y-1|}=5\\ \frac{4}{\sqrt{x}-3}+\frac{1}{|2y-1|}=3\end{array}$

2) Cho hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}mx-2y=2m\\ -2x+y=m+1\end{array}$

Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) sao cho x = y.

1) Giải hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}\frac{8}{\sqrt{x}-3}+\frac{1}{|2y-1|}=5\\ \frac{4}{\sqrt{x}-3}+\frac{1}{|2y-1|}=3\end{array}$

2) Cho hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}mx-2y=2m\\ -2x+y=m+1\end{array}$

Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) sao cho x = y.

Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A kẻ tiếp tuyến AM, AN tới đường tròn (M, N là các tiếp điểm).

1) Chứng minh tứ giác AMON nội tiếp.

2) Trên cung nhỏ MN lấy điểm B khác M, N và B không là điểm chính giửa của cung MN. Tia AB cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai C. Chứng minh: AM² = AB.AC

3) Gọi H là giao điểm của AO và MN. Chứng minh góc AHB= góc ACO.

Cho ba số thực không âm a, b, c và a + b + c = 3.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $K=\sqrt{3a+1}+\sqrt{3b+1}+\sqrt{3c+1}$

Bài 1 (2 điểm): Giải các hệ phương trình sau:

a) $\{\begin{array}{l}-3x+y=-9\\ 2x+7y=52\end{array}$

b) $\{\begin{array}{l}\frac{3}{\sqrt{x+3}}-2(x+2y)=-\frac{17}{2}\\ \frac{2}{\sqrt{x+3}}+4x+8y=21\end{array}$

Cho phương trình x² – 2(m − 3)x + 4m – 16 = 0 (m là tham số)

a) Tìm m để phương trình có nghiệm x = 3. Giải phương trình với giá trị m vừa tìm được.

b) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m.

c) Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm âm.

Cho đường tròn (O; R) đường kính AB và điểm I cố định nằm giữa A và O. Dây CD vuông góc với AB tại I. Gọi E là điểm tùy ý thuộc dây CD (E không trùng với C, D). Tia AE cắt (O) tại F.

a) Chứng minh tứ giác BIEF nội tiếp.

b) Chứng minh: AC² = AI.AB = AE.AF .

c) Kẻ đường kính CM của (O); kẻ dây DN vuông góc với FM. Chứng minh CN = DF.

d) Gọi giao điểm của CN và DF là K. Chứng minh rằng giao điểm của OK với BC là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF.

Biết rằng m, n là các số thực dương để phương trình ẩn x sau có nghiệm:

x² – 4x + n(m – 1) + 5 = 0.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\frac{{(m+n)}^2}{mn}$.

Cho $P=(\frac{1}{\sqrt{x}+1}-\frac{1}{x+\sqrt{x}}):\frac{\sqrt{x}}{x+2\sqrt{x}+1}$ (với x > 0)

1) Rút gọn biểu thức P.

2) Tính giá trị của P khi x = 4.

3) Tìm giá trị của x để $P>\frac{2}{3}$.

Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi bằng 68 m. Nếu tăng chiều rộng lên gấp đôi và chiều dài lên gấp ba thì chu vi khu vườn mới là 178 m. Hãy tìm chiều dài, chiều rộng của  khu vườn đã cho lúc ban đầu.

Cho hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}2x+y=3m-2\\ 3x-y=2m+2\end{array}$ (m là tham số)  (I)

1) Giải hệ phương trình đã cho khi m = −1.

2) Tìm m để hệ (I) có cặp nghiệm (x; y) duy nhất thỏa mãn: x² + y² = 10.

Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Dây CD vuông góc với AB tại E (E nằm giữa A và O; E không trùng A, không trùng O). Lấy điểm M thuộc cung nhỏ BC sao cho cung MB nhỏ hơn cung MC. Dây AM cắt CD tại F. Tia BM cắt đường thẳng CD tại K.

1) Chứng minh tứ giác BMFE nội tiếp.

2) Chứng minh BF vuông góc với AK và EK.EF = EA.EB

3) Tiếp tuyến của (O) tại M cắt tia KD tại I. Chứng minh IK = IF.

Cho x, y là hai số thực thỏa mãn x.y = 1.

Chứng minh rằng $\frac{4}{{(x+y)}^2}+x^2+y^2\ge 3$. Đẳng thức xảy ra khi nào? 

Giải hệ phương trình sau:

a) $\{\begin{array}{l}4x+7y=16\\ 4x-3y=-24\end{array}$

b) $\{\begin{array}{l}2\sqrt{x-2}+\sqrt{y+3}=4\\ 3\sqrt{x-2}-2\sqrt{y+3}=-1\end{array}$

Cho hàm số y = mx² có đồ thị là parabol (P) và đường thẳng (d): y = 3x + 4.

a) Tìm giá trị của m, biết (P) đi qua điểm M(1; 1). Vẽ (P) trên mặt phẳng tọa độ Oxy với giá trị của m vừa tìm được.

b) Với giá trị nào của m tìm được ở câu a, tìm tọa độ các giao điểm của (d) và (P).

Theo kế hoạch, hai tổ công nhân được giao sản xuất 5000 chiếc khẩu trang kháng khuẩn trong thời gian đã định. Do nhu cầu khẩu trang trong mùa dịch Covid tăng cao nên tổ I đã sản xuất vượt mước 50% và tổ II sản xuất vượt mức 40% so với kế hoạch. Vì vậy trong thời gian quy định hai tổ đã sản xuất được 7200 chiếc khẩu trang kháng khuẩn. Tính số khẩu trang kháng khuẩn được giao của mỗi tổ theo kế hoạch.

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức y = $\frac{x}{x^2+1}$.

Cho hai biểu thức $A=\frac{\sqrt{x}+1}{x-4}$ và  $B=\frac{18-\sqrt{x}}{x-4}+\frac{4}{2-\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+2}$với x ≥ 0, x ≠ 4.

1) Tính giá trị của A khi x = 25.

2) Rút gọn biểu thức B.

3) Đặt P = A.B. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P.

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Trong tháng đầu, hai tổ làm được 600 sản phẩm. Sang tháng thứ 2, tổ I vượt mức 10% và tổ II vượt mức 20% so với tháng đầu, do đó tháng thứ hai cả hai tổ làm được 685 sản phẩm. Hỏi tháng đầu, mỗi tổ làm được bao nhiêu sản phẩm?

1) Trong cùng mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y = x² và đường thẳng

(d): y = x + 2. Tìm tọa độ các giao điểm của (P) và (d). Vẽ (P) và (d).

2) Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}mx+y=2m\\ x+my=m+1\end{array}\right.$

Tìm m để hệ đã cho có nghiệm duy nhất (x; y) mà cả x và y đều nhận giá trị nguyên.

Cho ∆ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) với AB < AC. Các đường cao BE và CF của ∆ABC cắt nhau tại H.

1) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp.

2) Chứng minh OA ⊥ EF.

3) Gọi M là trung điểm của BC, S là giao điểm của đường thẳng EF và BC. Kẻ đường kính AK của đường tròn (O). Chứng minh H, M, K thẳng hàng và chứng minh SH ⊥ AM.

Cho 1 ≤ x, y, z ≤ 2 và x² + y² + z² = 6. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S=\sqrt{4-x^2}+\sqrt{4-y^2}+\sqrt{4-z^2}$.

Cho hàm số y = 2x² có đồ thị là parabol (P).

a) Các điểm A(−2; 8); B$\left(\frac{1}{2};1\right)$ có thuộc (P) không? Vì sao?

b) Vẽ parabol (P) trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

a) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm M(−2; −5) và N(4; 7)

b) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}\left(x+1\right)\left(y-1\right)=xy-1\\ \left(x-3\right)(y-3)=xy-3\end{array}\right.$

Hai người thợ cùng làm chung một công việc thì sau 6 ngày hoàn thành. Nếu người thứ nhất làm trong 2 ngày rồi dùng là và người thứ hai làm tiếp công việc đó trong 3 ngày thì hoàn thành đươc 40% công việc. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người hoàn thành công việc đó trong thời gian bao lâu?

Cho đường tròn (O; R) và dây AB cố định (AB < 2R). Từ điểm C bất kì trên tia đối của tia AB, kẻ tiếp tuyến CD với đường tròn (O) (D nằm trên cung lớn AB). Gọi I là trung điểm của dây AB. Tia DI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai K. Kẻ đường thẳng KE song song với AB (E ∈ (O)). Chứng minh rằng:

a) Tứ giác CDOI nội tiếp.

b) CD² = CA.CB.

c) CE là tiếp tuyến của đường tròn (O).

d) Khi C chuyển động trên tia đối của tia AB thì trọng tâm G của tam giác ABD chuyển động trên một đường tròn cố định.

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: ab + bc + ca = 3abc.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $K=\frac{a^2}{c\left(c^2+a^2\right)}+\frac{b^2}{a\left(a^2+b^2\right)}+\frac{c^2}{b\left(b^2+c^2\right)}$

). Cho hai biểu thức: $A=\frac{\sqrt{x}-2}{2\sqrt{x}+3}$  và $B=\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+2}-\frac{2}{2-\sqrt{x}}-\frac{7\sqrt{x}-6}{x-4}$  (với x ≥ 0; x ≠ 4.)

1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 16.

2) Cho biểu thức $P=\frac{B}{A}$ . Chứng minh $P=\frac{2\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+2}$ .

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 240 m. Người ta dự định mở rộng khu vườn bằng cách tăng chiều dài thêm 9m, tăng chiều rộng thêm 7 m, sao cho khu vườn vẫn là hình chữ nhật, do vậy diện tích khu vườn sẽ tăng thêm 963 m². Tính chiều dài và chiều rộng của khu vườn ban đầu.

1) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{x+1}+\frac{2}{y-2}=6\\ \frac{5}{x+1}-\frac{1}{y-2}=3\end{array}\right.$ .

2) Cho phương trình: x² −2(m −1)x + m² − 3m = 0 (1) (x là ẩn số)

a) Giải phương trình (1) khi m = 5.

b) Tìm tất cả giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm.

Cho đường tròn (O) và điểm K nằm bên ngoài đường tròn (O). Kẻ hai tiếp tuyến KA, KB với đường tròn (O), A và B là các tiếp điểm. Từ điểm K vẽ đường thẳng d cắt đường tròn (O) tại hai điểm C, D (KC < KD, d không đi qua tâm).

1) Chứng minh tứ giác KAOB là tứ giác nội tiếp.

2) Gọi giao điểm của đoạn thẳng AB với đoạn thẳng OK là M. Chứng minh

KA² = KC.KD = KM.KO.

3) Chứng minh đường thẳng AB chứa tia phân giác của $\widehat{CMD}$ .

Cho a, b là các số dương thỏa mãn a + b = 3. Chứng minh rằng: ${\left(a+\frac{1}{b}\right)}^2+{\left(b+\frac{1}{a}\right)}^2\ge \frac{169}{18}$

Hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x-y=2\\ ax+y=6\end{array}\right.$ có nghiệm (x; y) = (2; 0) khi giá trị của a là:

Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến khi x < 0?

Với giá trị nào của a thì đồ thị hàm số y = ax² đi qua điểm có tọa độ (2; 4)?

Trong các phương trình dưới đây, phương trình nào không phải là phương trình bậc hai một ẩn?

Phương trình x² + 3x + 2 = 0 có nghiệm là:

Với giá trị nào của m thì phương trình x² + mx + 9 = 0 có nghiệm kép:

Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O). Số đo cung AB nhỏ là:

Tam giác ABC nội tiếp đường tròn đường kính BC biết AB = 3cm, AC = 4cm.

So sánh các cung nhỏ, ta được:

Mệnh đề nào sau đây là sai?

Trong một đường tròn thì:

Lấy A, B thuộc đường tròn (O) sao cho góc AOB bằng 80°. Số đo của góc nhọn tạo bởi tiếp tuyến tại A và dây AB của (O) là:

Hai dây AB và CD của đường tròn (O) cắt nhau tại I, biết số đo các cung nhỏ AD và cung BC lần lượt là 40° và 60°. Số đo của góc BIC là:

Cho hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) cắt nhau tại M, biết $\widehat{AMB}$ = 60°. Số đo cung AB nhỏ và số đo cung AB lớn lần lượt là:

Trong các tứ giác sau, tứ giác nào không nội tiếp được một đường tròn?

a) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x+2y=5\\ -x+2y=-1\end{array}\right.$

b) Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình: Một hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 5m, chu vi bằng 50m. Tính các kích thước của hình chữ nhật đó.

a) Vẽ đồ thị hai hàm số y = x² và y = − x + 2 trên cùng mặt phẳng tọa độ.

b) Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị đó bằng phép tính.

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại M, N, P. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác BFHD nội tiếp.

b) FP.FC = FA.FB

Cho biểu thức $A=\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}$ và $B=\frac{x}{x-4}+\frac{1}{\sqrt{x}+2}$ với x ≥ 0; x ≠ 4

a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9.

b) Rút gọn biểu thức B.

c) Tìm x nguyên để biểu thức $\frac{A}{B}$ có giá trị là số nguyên.

Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

Một phân xưởng theo kế hoạch cần phải sản xuất 1100 sản phẩm trong một số ngày quy định. Do mỗi ngày phân xưởng đó sản xuất vượt mức 5 sản phẩm nên phân xưởng đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 2 ngày. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày phân xưởng phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm?

1) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}3\sqrt{x+1}-\frac{2}{y-2}=4\\ 2\sqrt{x+1}+\frac{1}{y-2}=5\end{array}\right.$

2) Cho phương trình: x² – mx – 4 = 0

a) Giải phương trình khi m = 3.

b) Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt x_1, x₂ với mọi giá trị của m.

Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A kẻ tiếp tuyến AM, AN tới đường tròn (O) (M, N là các tiếp điểm)

a) Chứng minh rằng tứ giác AMON nội tiếp

b) Vẽ cát tuyến ABC tới đường tròn (O) (Tia AO nằm giữa AM và tia AC)

Chứng minh rằng AM² = AB.AC

c) Gọi H là giao điểm AO và MN. Chứng minh rằng tứ giác BHOC nội tiếp.

Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn $\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}=1$.

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình.

Do ảnh hưởng của dịch Covid – 19 nên trong tháng hai cả hai tổ công nhân chỉ làm được 700 sản phẩm. Sang tháng ba, tình hình dịch ổn định tổ I vượt mức 20%, tổ II vượt mức 15% nên cả hai tổ làm được 830 sản phẩm. Hỏi trong tháng hai mỗi tổ làm được bao nhiêu sản phẩm?

1) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{x+3}+\left|y-1\right|=1\\ \frac{1}{x+3}-2\left|y-1\right|=-7\end{array}\right.$

2) Cho phương trình ẩn x: x² – 5x + m + 4 = 0 (1)

a) Giải phương trình (1) với m = 2

b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x₁; x₂ thỏa mãn ${x_1}^2+{x_2}^2=23$

Một tàu ngầm đang ở trên mặt biển thì lặn xuống theo phương tạo với mặt nước biển một góc 20°. Hỏi nếu tàu chuyển động theo phương lặn xuống được 200m thì nó ở độ sâu bao nhiêu mét so với mặt nước biển?

Giải hệ phương trình và phương trình sau:

a) $\left\{\begin{array}{l}7x+5y=9\\ 3x+2y=-3\end{array}\right.$

b) 3x² – 2x = 8

Cho hàm số $y=\frac{-1}{2}{x}^2$có đồ thị là (P) và đường thẳng (d): $y=\frac{1}{2}x-6$.

a) Vẽ (P) và (d) trên cùng một hệ trục tọa độ.

b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính.

Nhân dịp Lễ giỗ tổ Hùng Vương, một siêu thị điện máy đã giảm giá nhiều mặt hàng để kích cầu mua sắm. Giá niêm yết một tủ lạnh và một máy giặc có tổng số tiền là 25,4 triệu đồng nhưng trong dịp này giá một tủ lạnh giảm 40% giá bán và giá một máy giặc giảm 25% giá bán nên cô Liên đã mua hai món đồ trên với tổng số tiền là 16,77 triệu đồng. Hỏi giá mỗi món đồ trên khi chưa giảm giá là bao nhiêu tiền?

Máy kéo nông nghiệp có hai bánh sau to hơn hai bánh trước. Khi bơm căng, bánh xe sau có đường kính là 1,56 m và bánh xe trước có đường kính là 130 cm. Hỏi khi xe chạy trên đoạn đường thẳng, bánh xe sau lăn được 25 vòng thì bánh xe trước lăn được mấy vòng?

Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O) vẽ các tiếp tuyến AM, AN đến (O) (với M, N là các tiếp điểm) và cát tuyến AEF cắt (O) tại E và F (E nằm giữa A và F, tia AF nằm giữa tia AO và AN).

a) Chứng minh: AE . AF = AM².

b) Chứng minh tứ giác AMON nội tiếp.

c) Gọi K là giao điểm của OA và MN. Chứng minh MN là phân giác của $\widehat{FKE}$.

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = x + 4 và (P): $y=\frac{1}{2}{x}^2$

a. Nêu đặc điểm của đồ thị hàm số $y=\frac{1}{2}{x}^2$.

b. Vẽ đồ thị (P): $y=\frac{1}{2}{x}^2$.

c. Tìm tọa độ các giao điểm A và B của (d) và (P).

d. Tìm tọa độ điểm M trên tia Ox có hoành độ lớn hơn 4 sao cho diện tích ∆MAB bằng 30 (đvdt) với A, B là giao điểm của (d) và (P).

Một tổ công nhân may lập kế hoạch may 60 bộ quần áo. Khi thực hiện, mỗi ngày tổ này may nhiều hơn kế hoạch 2 bộ nên đã hoàn thành công việc ít hơn kế hoạch 1 ngày. Biết số bộ quần áo may trong mỗi ngày là như nhau. Hỏi tổ công nhân may đã lập kế hoạch để hoàn thành công việc trong bao nhiêu ngày?

a. Sử dụng công thức nghiệm để giải phương trình: x² – 3x – 4 = 0.

Điền vào chỗ trống:

a. Góc …………………… có số đo bằng nửa hiệu số đo của hai cung bị chắn.

b. Góc nội tiếp là góc…………………………………………………………

c. Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng……………………..

Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Qua A kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với (O) (B, C là tiếp điểm). Kẻ cát tuyến AMN với (O) (nằm giữa A và N).

a. CMR: AB² = AM.AN

b. Đoạn thẳng AO cắt đường tròn (O) tại I. CMR: I là tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC

Công thức nghiệm tổng quát của phương trình x – 3y = 1 là:

Không giải hệ phương trình, dự đoán số nghiệm của hệ $\left\{\begin{array}{l}-2x-3y=7\\ 3x-2y=-5\end{array}\right.$

Cho hàm số y = ax² với a ≠ 0. Kết luận nào sau đây là đúng.

Phương trình 5x² – 2x + 2 = 0 có bao nhiêu nghiệm?

Cho đường tròn (O; R) có góc ở tâm $\widehat{AOB}$có số đo bằng 80°. Khi đó số đo cung bị chắn bởi góc  bằng:

Độ dài đường tròn có bán kính R = 6cm là:

a. Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}5x+6y=6\\ 5x+2y=2\end{array}\right.$

b. Giải phương trình: 2x² – 7x + 3 = 0

Vẽ đồ thị hàm số: y = −x²

Hai người cùng làm chung một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm trong 3 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì chỉ hoàn thành $\frac{1}{4}$ công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mổi người làm trong bao lâu xong việc.

Cho ∆MNP (MN < MP) nhọn nội tiếp đường tròn (O). Ba đường cao MD, NE, PF (D ∈ NP, E ∈ MP, F ∈ MN) của ∆MNP cắt nhau tại H.

a. Chứng minh: Tứ giác MEHF nội tiếp

b. Kẻ đường kính MK. Chứng minh: MN.MP = MK.MD

c. Lấy điểm A đối xứng với K qua N. Chứng minh A thuộc đường tròn ngoại tiếp ∆MNH

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:

Cho Parabol (P): y = ax²

a. Xác định hệ số a biết (P) đi qua điểm A(2; 4).

b. Với giá trị a vừa tìm được xác định tọa độ giao điểm của Parabol (P) và đường thẳng (d): y = x + 2.

Cho nửa đường tròn (O; R) đường kình AB. Điểm C di động trên nửa đường tròn (C khác A và B), gọi M là điểm chính giữa cung AC. BM cắt AC tại H và cắt tia tiếp tuyến Ax của nửa đường tròn (O) tại K, AM cắt BC tại D.

a. Chứng minh tứ giác DMHC nội tiếp.

b. Chứng minh ∆ABM đồng dạng với ∆HBC suy ra BH.BM = BA.BC

c. Tứ giác AKDH là hình gì? Tại sao?

d. Đường tròn ngoại tiếp ∆BHD cắt đường tròn (B; BA) tại N. Chứng minh A, C, N thẳng hàng.

Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a.b.c = 1. Chứng minh rằng:$\frac{1}{\sqrt{a}+2\sqrt{b}+3}+\frac{1}{\sqrt{b}+2\sqrt{c}+3}+\frac{1}{\sqrt{c}+2\sqrt{a}+3}\le \frac{1}{2}$