Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Qua điểm A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC đến (O) (B, C là 2 tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC, qua H kẻ một đường th...

Câu hỏi :

Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Qua điểm A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC đến (O) (B, C là 2 tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC, qua H kẻ một đường thẳng vuông góc với OC cắt (O) tại M (M thuộc cung nhỏ BC), AM cắt (O) tại N (N khác M); gọi K là trung điểm MN.

a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp và AB.BM = AM.NB.

b) Chứng minh 5 điểm A, B, K, O, C cùng thuộc 1 đường tròn và AMH^=AON^.

c) Kẻ OI vuông góc NB tại I. Chứng minh: I, K, H thẳng hàng.

* Đáp án

* Hướng dẫn giải

Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Qua điểm A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC đến (O) (B, C là 2 tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC, qua H kẻ một đường thẳng vuông góc với OC cắt (O) tại M (M thuộc cung nhỏ BC), AM cắt (O) tại N (N khác M); gọi K là trung điểm MN. a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp và AB.BM = AM.NB. b) Chứng minh 5 điểm A, B, K, O, C cùng thuộc 1 đường tròn và gocs AMH= góc AON . c) Kẻ OI vuông góc NB tại I. Chứng minh: I, K, H thẳng hàng. (ảnh 1)

a) Ta có:

OBA^= 90° (AB là tiếp tuyến của (O)).

OCA^= 90° (AC là tiếp tuyến của (O)).

Xét tứ giác ABOC có OBA^+OCA^= 90° + 90° = 180°.

Suy ra tứ giác ABOC nội tiếp.

Xét ∆ ABM và ∆ ANB có:

NAB^là góc chung.

ANB^=ABM^ (Góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cùng chắn cung BM).

Suy ra ∆ABM đồng dạng ∆ANB (g.g)

Từ đó suy ra AMAB=BMNB AB.BM = AM.NB (đpcm)

b) Tứ giác ABOC nội tiếp có OBA^= 90° suy ra OA là đường kính cũng suy ra tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn đường kính OA.

Ta có OK MN (tính chất đường kính đi qua trung điểm dây cung thì vuông góc với dây đó).

Suy ra OKM^=OKA^=90° dẫn đến K thuộc đường tròn đường kính OA.

Vậy 5 điểm A, B, C, O, K cùng thuộc 1 đường tròn đường kính OA.

∆ABM  ∆ANB (cmt) nên ta có: ABAN=AMAB

Û AB2 = AM.AN.

Mà ta cũng có AB2 = AH.AO (∆ ABO vuông tại B có đường cao BH).

Suy ra AM.AN = AH.AO Û AMAO=AHAN.

Xét ∆AMH và ∆AON có:

OAN^là góc chung

AMAO=AHAN (cmt)

Suy ra ∆AMH đồng dạng ∆AON (c.g.c)

Từ đó suy ra AMH^=AON^ (hai góc tương ứng).

c) Ta có MH // AC (cùng vuông góc với OC).

Suy ra KMH^=KAC^(hai góc đồng vị).

Ta lại có KBC^=KAC^ (tứ giác KBAC nội tiếp)

Từ đó suy ra KBH^=KMH^ suy ra tứ giác KBMH nội tiếp.

MKH^=MBH^(tứ giác KBMH nội tiếp)

MNC^=MBC^(tứ giác NBMC nội tiếp đường tròn (O))

MKH^=MNC^ KH//NC      (1)

Ta có H là trung điểm BC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

I là trung điểm NB (đường kính vuông góc với dây cung thì đi qua trung điểm của dây).

IH là đường trung bình của tam giác NBC IH // NC                 (2)

Từ (1) và (2) suy ra K, H, I thẳng hàng (theo tiên đề Ơ-clit).

Bạn có biết?

Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các phép biến đổi. Nói một cách khác, người ta cho rằng đó là môn học về "hình và số". Theo quan điểm chính thống neonics, nó là môn học nghiên cứu về các cấu trúc trừu tượng định nghĩa từ các tiên đề, bằng cách sử dụng luận lý học (lôgic) và ký hiệu toán học. Các quan điểm khác của nó được miêu tả trong triết học toán. Do khả năng ứng dụng rộng rãi trong nhiều khoa học, toán học được mệnh danh là "ngôn ngữ của vũ trụ".

Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thư

Tâm sự Lớp 9

Lớp 9 - Là năm cuối ở cấp trung học cơ sở, sắp phải bước vào một kì thi căng thẳng và sắp chia tay bạn bè, thầy cô và cả kì vọng của phụ huynh ngày càng lớn mang tên "Lên cấp 3". Thật là áp lực nhưng các em hãy cứ tự tin vào bản thân là sẻ vượt qua nhé!

Nguồn : ADMIN :))

Liên hệ hợp tác hoặc quảng cáo: gmail

Điều khoản dịch vụ

Copyright © 2021 HOCTAPSGK