Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Một mặt phẳng thay đổi nhưng luôn song song với đáy và cắt các cạnh bên SA, SB, SC, SD lần lượt tại M, N, P, Q. Gọi \({M}'\), \({...
Câu hỏi :
Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Một mặt phẳng thay đổi nhưng luôn song song với đáy và cắt các cạnh bên SA, SB, SC, SD lần lượt tại M, N, P, Q. Gọi \({M}'\), \({N}'\), \({P}'\), \({Q}'\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của M, N, P, Q lên mặt phẳng \(\left( ABCD \right)\). Tính tỉ số \(\frac{SM}{SA}\) để thể tích khối đa diện \(MNPQ.{M}'{N}'{P}'{Q}'\) đạt giá trị lớn nhất.
A. \(\frac{2}{3}\).
B. \(\frac{1}{2}\).
C. \(\frac{1}{3}\).
D. \(\frac{3}{4}\).
* Đáp án
A
* Hướng dẫn giải
.png)
Đặt \(\frac{SM}{SA}=k\) với \(k\in \left[ 0;1 \right]\).
Xét tam giác SAB có \(MN\text{//}AB\) nên \(\frac{MN}{AB}=\frac{SM}{SA}=k\)\(\Rightarrow MN=k.AB\)
Xét tam giác SAD có \(MQ\text{//}AD\) nên \(\frac{MQ}{AD}=\frac{SM}{SA}=k\)\(\Rightarrow MQ=k.AD\)
Kẻ đường cao SH của hình chóp. Xét tam giác SAH có:
\(M{M}'\text{//}SH\) nên \(\frac{M{M}'}{SH}=\frac{AM}{SA}=\frac{SA-SM}{SA}=1-\frac{SM}{SA}=1-k\)\(\Rightarrow M{M}'=\left( 1-k \right).SH\).
Ta có \({{V}_{MNPQ.{M}'{N}'{P}'{Q}'}}=MN.MQ.M{M}'=AB.AD.SH.{{k}^{2}}.\left( 1-k \right)\).
Mà \({{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}SH.AB.AD\) \(\Rightarrow {{V}_{MNPQ.{M}'{N}'{P}'{Q}'}}=3.{{V}_{S.ABCD}}.{{k}^{2}}.\left( 1-k \right)\).
Thể tích khối chóp không đổi nên \({{V}_{MNPQ.{M}'{N}'{P}'{Q}'}}\) đạt giá trị lớn nhất khi \({{k}^{2}}.\left( 1-k \right)\) lớn nhất.
Ta có \({{k}^{2}}.\left( k-1 \right)=\frac{2\left( 1-k \right).k.k}{2}\le \frac{1}{2}{{\left( \frac{2-2k+k+k}{3} \right)}^{3}}\)\(\Rightarrow {{k}^{2}}.\left( k-1 \right)\le \frac{4}{27}\).
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: \(2\left( 1-k \right)=k\)\(\Leftrightarrow k=\frac{2}{3}\).
Vậy \(\frac{SM}{SA}=\frac{2}{3}\).
Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm dưới đây !
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán - Trường THPT ChuyênThái Bình lần 3
Bạn có biết?
Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các phép biến đổi. Nói một cách khác, người ta cho rằng đó là môn học về "hình và số". Theo quan điểm chính thống neonics, nó là môn học nghiên cứu về các cấu trúc trừu tượng định nghĩa từ các tiên đề, bằng cách sử dụng luận lý học (lôgic) và ký hiệu toán học. Các quan điểm khác của nó được miêu tả trong triết học toán. Do khả năng ứng dụng rộng rãi trong nhiều khoa học, toán học được mệnh danh là "ngôn ngữ của vũ trụ".
Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thưTâm sự Lớp 12
Lớp 12 - Năm cuối ở cấp tiểu học, năm học quan trọng nhất trong đời học sinh trải qua bao năm học tập, bao nhiêu kì vọng của người thân xung quanh ta. Những nỗi lo về thi đại học và định hướng tương lai thật là nặng. Hãy tin vào bản thân là mình sẽ làm được rồi tương lai mới chờ đợi các em!
Nguồn : ADMIN :))Copyright © 2021 HOCTAPSGK