Cho hình chóp S.ABC có các cạnh \(SA = BC = 3;\,\,SB = AC = 4;\,\,SC = AB = 2\sqrt 5 \) . Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Câu hỏi :
Cho hình chóp S.ABC có các cạnh \(SA = BC = 3;\,\,SB = AC = 4;\,\,SC = AB = 2\sqrt 5 \) . Tính thể tích khối chóp S.ABC.
A. \(\frac{{\sqrt {390} }}{{12}}.\)
B. \(\frac{{\sqrt {390} }}{{6}}.\)
C. \(\frac{{\sqrt {390} }}{{8}}.\)
D. \(\frac{{\sqrt {390} }}{{4}}.\)
* Đáp án
D
* Hướng dẫn giải
.png)
Đặt \(SA = SB = a,SB = AC = b,SC = AB = c\).
Dựng hình chóp S.A'B'C' sao cho A, B, C lần lượt là trung điểm của B'C', C'A', A'B'.
Dễ thấy \(\Delta ABC\) đồng dạng với \(\Delta A'B'C'\) theo tỉ số \(\frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{{S_{\Delta ABC}}}}{{{S_{\Delta A'B'C'}}}} = \frac{1}{4} \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \frac{1}{4}{V_{S.A'B'C'}}\).
Ta có AB, BC, CA là các đường trung bình của tam giác A'B'C'
\( \Rightarrow A'B' = 2AB = 2c;\,B'C' = 2BC = 2a;\,A'C' = 2AC = 2b\).
\( \Rightarrow \Delta SA'B',\Delta SB'C',\Delta SC'A'\) là các tam giác vuông tại S (Tam giác
có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy)
\( \Rightarrow SA',SB',SC'\) đôi một vuông góc
\({V_{S.A'B'C'}} = \frac{1}{6}SA'.SB'.SC' \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \frac{1}{{24}}SA'.SB'.SC'\)
Áp dụng định lí Pytago ta có:
\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
SA{'^2} + SB{'^2} = 4{c^2}\\
SB{'^2} + SC{'^2} = 4{a^2}\\
SA{'^2} + SC{'^2} = 4{b^2}
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
SA{'^2} = 2\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)\\
SB{'^2} = 2\left( {{a^2} + {c^2} - {b^2}} \right)\\
SC{'^2} = 2\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)
\end{array} \right.\\
\Rightarrow {V_{S.ABC}} = \frac{1}{{24}}.\sqrt {8\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)\left( {{a^2} + {c^2} - {b^2}} \right)\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)} \\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{1}{{6\sqrt 2 }}\sqrt {\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)\left( {{a^2} + {c^2} - {b^2}} \right)\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)}
\end{array}\)
Thay \(a = 3,b = 4,c = 2\sqrt 5 \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \frac{{\sqrt {390} }}{4}.\)
Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm dưới đây !
Đề thi thử THPT QG năm 2019 môn Toán Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc lần 3
Bạn có biết?
Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các phép biến đổi. Nói một cách khác, người ta cho rằng đó là môn học về "hình và số". Theo quan điểm chính thống neonics, nó là môn học nghiên cứu về các cấu trúc trừu tượng định nghĩa từ các tiên đề, bằng cách sử dụng luận lý học (lôgic) và ký hiệu toán học. Các quan điểm khác của nó được miêu tả trong triết học toán. Do khả năng ứng dụng rộng rãi trong nhiều khoa học, toán học được mệnh danh là "ngôn ngữ của vũ trụ".
Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thưTâm sự Lớp 12
Lớp 12 - Năm cuối ở cấp tiểu học, năm học quan trọng nhất trong đời học sinh trải qua bao năm học tập, bao nhiêu kì vọng của người thân xung quanh ta. Những nỗi lo về thi đại học và định hướng tương lai thật là nặng. Hãy tin vào bản thân là mình sẽ làm được rồi tương lai mới chờ đợi các em!
Nguồn : ADMIN :))Copyright © 2021 HOCTAPSGK