Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn

* Hướng dẫn giải

\[lo{g_2}\frac{{3x + 3y + 4}}{{{x^2} + {y^2}}} = (x + y - 1)(2x + 2y - 1) - 4\left( {xy + 1} \right)\]

\[ \Leftrightarrow lo{g_2}(3x + 3y + 4) - lo{g_2}({x^2} + {y^2}) = (x + y - 1)[2(x + y) - 1] - 4(xy + 1)\]

\[ \Leftrightarrow lo{g_2}(3x + 3y + 4) - lo{g_2}({x^2} + {y^2}) = 2{(x + y)^2} - 3(x + y) + 1 - 4(xy + 1)\]

\[ \Leftrightarrow lo{g_2}(3x + 3y + 4) - lo{g_2}({x^2} + {y^2}) = 2({x^2} + {y^2}) + 4xy - (3x + 3y) + 1 - 4xy - 4\]

\[ \Leftrightarrow lo{g_2}(3x + 3y + 4) - lo{g_2}({x^2} + {y^2}) = 2({x^2} + {y^2}) - (3x + 3y + 4) + 1\]

\[ \Leftrightarrow lo{g_2}(3x + 3y + 4) + (3x + 3y + 4) = lo{g_2}({x^2} + {y^2}) + 2({x^2} + {y^2}) + lo{g_2}2\]

\[ \Leftrightarrow lo{g_2}(3x + 3y + 4) + (3x + 3y + 4) = lo{g_2}(2{x^2} + 2{y^2}) + (2{x^2} + 2{y^2})( * )\]

Xét hàm số đặc trưng \[f\left( t \right) = {\log _2}t + t\,\,\left( {t > 0} \right)\] ta có

\[f'\left( t \right) = \frac{1}{{t\ln 2}} + 1 > 0\,\,\forall t > 0\]

⇒ Hàm số y=f(t) luôn đồng biến trên\[\left( {0; + \infty } \right)\]

Do đó \[\left( * \right) \Leftrightarrow 3x + 3y + 4 = 2{x^2} + 2{y^2}\]Ta có:\[{\left( {x + y} \right)^2} \le 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = 3x + 3y + 4\]

\[ \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} - 3\left( {x + y} \right) - 4 \le 0 \Leftrightarrow - 1 \le x + y \le 4\]

Kết hợp điều kiện đề bài ta có\[0 < x + y \le 4\]

Xét biểu thức

\[P = \frac{{5x + 3y - 2}}{{2x + y + 1}} = \frac{{2\left( {2x + y + 1} \right) + x + y - 4}}{{2x + y + 1}} = 2 + \frac{{x + y - 4}}{{2x + y + 1}}\]

Do  \[x + y \le 4 \Leftrightarrow x + y - 4 \le 0 \Leftrightarrow \frac{{x + y - 4}}{{2x + y + 1}} \le 0 \Rightarrow P \le 2\]

Vậy\[{P_{max}} = 2 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = 4}\\{x = y}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x = y = 2\]

Đáp án cần chọn là: C